$41$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Question

$\left( \begin{matrix} 2013\\ 1\end{matrix} \right)+2013\left( \begin{matrix} 2013\\ 3\end{matrix} \right)+2013^2\left( \begin{matrix} 2013\\ 5\end{matrix} \right)+...+2013^{1006}\left( \begin{matrix} 2013\\ 2013\end{matrix} \right)$ sayısının $41$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Comments

Soruyla ilgili yorum yapmak isterdim fakat hiç bir işe yarar fikrim yok.

---

Tam olarak nasil gidiyor. Son kuvvet $2012$ olmali gibi. $1006$ nasil geliyor, bastaki dizilimden elde edemedim. $\cdot$ kismini cozemedim su an.

---

Aklıma gelen şu: Hepsi 2013 parantezine alınabilir. 

2013 mod 41 = 4 bulunur.  Seçenekleri var mıydı?

---

Düzelttim hocam şimdi doğru oldu sanırım :)

Answer 1

Cozume yakin bir cevap:

$(x+1)^{2013}$ ile $(x-1)^{2013}$ deglerini toplarsan $(x+1)^{2013}$ acilimindaki tek terimlerin toplaminin iki katini elde edebilirsin.

Basit bir ornek: $(x+1)^3-(x-1)^3=2(x^3+3x)$. Bunu genel olaak gormek biraz ugrastan sonra basit.

Peki bizim istedigimzi nedir? $\big[2^{-1}\cdot[(x+1)^{2013}+(x-1)^{2013}]\big]\cdot x^{-1}$ fonksiyonun $x=\sqrt{2013}$ icin degeri. Kok korkutamsin cunku yukaridaki polinomda (!) $x$'in kuvvetleri cift.

Ayrica $2013\equiv 4=(\pm2)^2\mod 41$ ve $\phi(41)=41-1=40$ (Euler phi fonksiyonu).

Comments

Buradan birşeyler geliyor sanırım hocam çok sağolun.

---

$\left( \begin{matrix} 2013\\ 1\end{matrix} \right)+2013\left( \begin{matrix} 2013\\ 3\end{matrix} \right)+2013^2\left( \begin{matrix} 2013\\ 5\end{matrix} \right)+...+2013^{1006}\left( \begin{matrix} 2013\\ 2013\end{matrix} \right)=A$ dersek 

$\left( \begin{matrix} 2013\\ 1\end{matrix} \right)+2^2\left( \begin{matrix} 2013\\ 3\end{matrix} \right)+2^4\left( \begin{matrix} 2013\\ 5\end{matrix} \right)+...+2^{2012}\left( \begin{matrix} 2013\\ 2013\end{matrix} \right)\equiv A (mod\ 41)$ olur.

$2\left( \left( \begin{matrix} 2013\\ 1\end{matrix} \right)+2^2\left( \begin{matrix} 2013\\ 3\end{matrix} \right)+2^4\left( \begin{matrix} 2013\\ 5\end{matrix} \right)+...+2^{2012}\left( \begin{matrix} 2013\\ 2013\end{matrix} \right) \right)$

$=\frac{(2+1)^{2013}+(2-1)^{2013}}{2}$ o halde $4A\equiv (2+1)^{2013}+(2-1)^{2013}\equiv 3^{13}+1\equiv 39(mod\ 41)$ buldum fakat sonrasındaki bölme işlemini $\frac{39+41}{4}=20$ şeklinde mi buluyoruz emin olamadım bölme işleminde böyle mi yapılıyordu hocam? Cevap $20$ bu arada.

---

$2^{-1}=42/2=21$.

---

Hocam düzenledim. Belki bildirim olarak görünmemiştir böylece kalmasın :)

---

Sorun yok. Ek sorum neden $-2$'yi degil de $2$'yi kok olarak sectin? $-2$ ya da $2$ secmek arasinda fark yok. Bunu da gormeni istiyorum. ONemli cunku.

---

Duzenlemeler gelmiyor bildirim olarak...

---

Sonrasında $2$ ile çarptım $A$'yı kolay olması için. Pekala $-2$ verip $A$'yı $-2$ ile çarparak aynı sonucu bulabilirdik.

---

Peki benim $4A \equiv 39(mod\ 41) \rightarrow A \equiv \frac{39+41}{4}\equiv 20(mod\ 41)$ işlemim ne kadar doğruydu orada takıldım aslında.

---

Simdi bunlar teknik sorular. Bana sorarsan mantikli bu islem. Yani dogru cevabi verir.

Fakat matematiksel olarak karsimdakinden bekledigim: $39\times4^{-1}\equiv 39\times31$ islemini yapmasi.

ya da buradaki gibi $4A\equiv (39+41)=4\times(20)$ olarak yazip her iki tarafi $4^{-1}$ ile carpmak. Bu yazimi tercih ederim.

Yukaridaki $4^{-1}\equiv 31$'i bulmak zor degil. Neden? $4\times-10=-40\equiv 1$

Zaten (tek) asallar ya $1\mod 4$ ya da $3 \mod 4$. Birinden $+$'dan digerinde $-$'den $4$'un tersini rahatcana bulabilirsin.

---

Anladım hocam sağolun. İki şekilde de geliyor sorun olmuyor zaten :)