Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.5k kez görüntülendi

$11^{126}$ sayısının birler ve onlar basamağını nasıl buluruz?

Birler basamağı bariz. $\phi(100)=40$ olduğunu kullanarak $11^{120} \equiv 1 (\mod 100)$ dedikten sonra kalan $11^6$'lık kısmı hesaplayınca cevap geliyor ama bundan daha kolay bir yol olmalı. 

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (477 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 1.5k kez görüntülendi

(10+1) üzeri 11 diyip binom açmayı deneyebilirsin.

ne üzeri 11 i ya üzeri 126 :)

11'in kuvvetleri açıldığında onlar basamağı ile kuvvet arasındaki ilişkiye dikkat ettiniz mi? Orada bir döngü var. Kolay çözümü göreceksiniz.

İçime sinmiyor öyle düşünmek.

Sinme nasil olur ki? Dogukan'in dedigi yontem en azindan tanimla ilgili $$(10+1)^{26}=1+26\cdot 10+ 100(\cdots)$$

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

11^126 = 10k+1

11^126-1/10 = k

(11-1)(11^125+11^124...+1)/10 = k

11^125...+1 = k

K = 126 mod10

Onlar basamağı 6, birler basamağı 1.

(15 puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$$11^0=1$$

$$11^1=11$$

$$11^2=121$$

$$11^3=1331$$             genelleme çıktı gibi geliyor ama emin olmak için bir basamak daha denemekte fayda var

$$11^4=14641$$    Görüldüğü gibi 11'in üs kısmına yazılan sayının birler basamağı, sayının değerinde onlar basamağına denk geliyor. Nereden bileyim böyle devam edeceğini demekte haklısınız  ama bir şeye daha dikkatinizi çekmek isterim: üs olarak yazdığımız sayının bir fazlasının Pascal üçgenindeki basamak numarası o sayının değerini veriyor. Yani $11^n$ Pascal üçgeninin $n+1$'inci basamağı. Pascal üçgeninde de satır sonu rakamı daima 1 yani satır sonundan önceki sayı daima ritmik olarak artıyor bu da genelleme yapabileceğimizin teminatı. Ve de Pascal üçgeni rakamlar kullanılarak oluşturulduğu için $mod10$'da işlem yaparız. $mod10$'da test kitaplarının klasik birler basamağı soru kalıbı.






(60 puan) tarafından 
20,221 soru
21,752 cevap
73,359 yorum
2,005,041 kullanıcı