$a$ ve $b$ pozitif tamsayılar olmak üzere $3^a - 3^b=234$ ise $a^3 - b^3 = ?$

Question

ilk eşitlik değerini kullanarak 2. değerin hesaplanması gerekiyor.

Comments

Sen bu soruda neler düşündün/denedin @Mehmet Avcı?

---

Bu soruda logaritma özelliklerinden çözüme ulaşmaya çalıştım. Ayrıca a=5   ve b= 2 için eşitliğin sağladığını gördüm.

---

Soruda belirtilmesi unutulmuş bir şey var sanırım.
Herhalde, $a$ ve $b$ tamsayı  koşulu olmalı.

Aksi halde sonsuz çözüm var ($b$ ye istediğin bir değer verip logaritma kullanarak $a$ yı bulabilrsin.)

($a,b$ pozitif tamsayı olmak üzere) Verilen sayıları 3 tabanında yazıp çözmeyi dene.

---

Ayrıca $234 = 3\cdot 3\cdot 26 = 3^2 \cdot (3^3 - 1)$ eşitliği de bir fikir verebilir.

---

Hepinize çok teşekkür ederim hocalarım.

---

@Lokman Gökçe hocam sen bu eğitim konularında uzman birisin. Bu soruyu a ve b'yi bulmadan çözme yolu var mı? Aşağıda verilen iki cevap da ilk önce a ve b'yi buluyor. Bu durumda (eğer her çözüm ya da çoğu a ve b'yi bulmaktan geçiyorsa) neden soru sadece a ve b'yi bulun diye sorulmuyor? O son ekstra adımın ölçmek istediği bir bilgi, bir yetenek yok gibi duruyor?

---

@Ozgur hocam merhaba,

 

$a, b$ tam sayılarını bulmadan istenen $a^3-b^3$ değerini hesaplamak bana pek mümkün görünmüyor. Belki, problem çoktan seçmeli bir soruydu. Emin olmamakla beraber, soru yazarın neden böyle bir tarz seçtiğini anlamaya çalışalım. Sadece tahmin yürütüyoruz.

Pr1. $a$ ve $b$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $3^a−3^b=234$ denklemini sağlayan kaç $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

$ \text{a) } 0  \qquad \text{b) } 1  \qquad \text{c) } 2  \qquad  \text{d) } 3  \qquad \text{e) } \text{Hiçbiri}  $

 

Eğer yazar Pr1 şeklinde sorsaydı, bu türde denklemlerle bir parça uğraşan bir öğrenci "Fazla çözüm gelmeyecektir. 1-2 tane çözüm olabilir. (b) yi işaretleyeyim" diyebilirdi. Yazar bunu engellemek için Pr2 versiyonunu tercih etmiş olabilir.

 

Pr2. $a$ ve $b$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $3^a−3^b=234$ ise $a^3 - b^3$ aşağıdakilerden hangisidir?

$ \text{a) } 91  \qquad \text{b) } 117  \qquad \text{c) } 217  \qquad  \text{d) } 271  \qquad \text{e) } \text{Hiçbiri}  $

 

Bu versiyonda, öğrencinin kafadan atarak doğru cevabı tutturması biraz daha zordur. Kafadan atmayı zorlaştırmak için Tübitak 1. Aşama olimpiyatlarında sıkça gördüğümüz "Hiçbiri" şıkkı oldukça caydırıcıdır. Aslında Pr1 de bu haliyle kuvvetli çeldiricilere sahiptir. Pr2 ise, daha az ipucu vermek istiyor olabilir. Pr1 türünde de bolca Tübitak 1. Aşama sorusu vardır, bu da tercih edilen bir tarzdır. Diğer yandan, ABD'de düzenlenen AIME (American Invitational Math. Exam) sınavında cevaplar daima tam sayı olup 0-999 aralığındadır. Örneğin istenen bir uzunluk $|AB|=2\sqrt{3}$ bulunuyorsa, soruda $... |AB|^2$ kaçtır? şeklinde soruluyor. Cevap $12$ gibi bir tam sayı bulunmuş oluyor. Burada yazar, soru sorarken AIME tarzını benimsemiş de olabilir.

---

Teşekkür ederim, tatmin oldum :) çoktan seçmeli soru kavramını unutmuşum bir an.

Answer 1

Doğan hocamın dediğini yapalım:

$234=22200_3=100000_3-100_3=3^5-3^2$ olacağından

$a=5$ ve $b=2$ bulunur.

Answer 2

Denklemin çözümü olan $a$ ve $b$ pozitif tam sayılarının yalnız bir tane olduğunu gösteren bir başka çözüm şöyledir.

 

$\color{red} {\textbf{2. Çözüm:}}$ $a>b$ olduğu açıktır. $3^{b}\cdot (3^{a-b} -1) = 234 = 3^2\cdot 26$ dır. Buradan $3^b = 3^2$ ve $3^{a-b} -1 = 26$ olup $b=2, a-b=3$ bulunur. Tek çözüm çifti $(a,b) = (5,2)$ elde edilir. Buradan $a^3 - b^3 = 125 - 8 = \boxed{117}$ dir.

Answer 3

$3^a - 3^b = 234$

$234= 243-9 = 3^5 -3^2$

$3^a - 3^b = 3^5 -3^2$

$a=5, b=2$

$a^3 - b^3 = 125-8 = 117$