Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
749 kez görüntülendi
$2014^{2015} \equiv x (mod 121)$ olduguna gore $x$ kactir?
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 749 kez görüntülendi

Bölünecek sayıyı anlayamadım. Biraz açıklar mısınız.

Soru $2014^{2015} \equiv x \mod 121$ olmalı.

Telefonda aceleyle yazarken fark edemedim kusura bakmayin. Simdi duzelmis olmali :)
Cozumu ogrenebildiniz mi?
Hayir henuz degil maalesef. Aslinda biz arkadasimla bir yere kadar getirmistik ama yine de ugrasilmaz bir sayi cikti.
O ugrasilmaz sayiyla ugrasip, sanirim bi yarim saat boyunca birkac islem hatasiyla, dogru cevabi buldum. Aksam bilgisayardan yazarim su an telefondayim.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Öncelikle $2014^{2015} \equiv 78^{2015} \equiv x \ (mod\ 121)$ olduğunu bulalım. Ardından $78$ ve $121$ aralarında asal olduğundan Euler teoreminden $78^{11^2-11} \equiv 1 \ (mod\ 121)$ olacağından $2014^{2015} \equiv 78^{35} \equiv x \ (mod\ 121)$ buluruz. $78^{35}=3^{35}.2^{35}.13^{35}$ ve $3^{5} \equiv 1\ (mod\ 121)$ olduğundan $2014^{2015} \equiv 26^{35} \equiv x \ (mod\ 121)$ olmalıdır. Buraya kadar sadeleştirdikten sonra:
$2^7 \equiv 7\ (mod\ 121) \rightarrow 2^{35}.13^{35}\equiv7^5.13^{35} $
$13^4\equiv5\ (mod\ 121) \rightarrow 13^8\equiv25\ (mod\ 121) \rightarrow 13^{16}\equiv20\ (mod\ 121)$
$\rightarrow13^{32}\equiv-20\ (mod\ 121)$
$7^5\equiv-12\ (mod\ 121)$
$26^{35} \equiv (-20)(-12)13^3 \equiv x \ (mod\ 121)$
$2014^{2015} \equiv 34 \ (mod\ 121)$
(2.9k puan) tarafından 
20,239 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,058,781 kullanıcı