Processing math: 27%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
2.1k kez görüntülendi

(20131)+2013(20133)+20132(20135)+...+20131006(20132013) sayısının 41 ile bölümünden kalan kaçtır?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 2.1k kez görüntülendi

Soruyla ilgili yorum yapmak isterdim fakat hiç bir işe yarar fikrim yok.

Tam olarak nasil gidiyor. Son kuvvet 2012 olmali gibi. 1006 nasil geliyor, bastaki dizilimden elde edemedim. kismini cozemedim su an.

Aklıma gelen şu: Hepsi 2013 parantezine alınabilir. 

2013 mod 41 = 4 bulunur.  Seçenekleri var mıydı?

Düzelttim hocam şimdi doğru oldu sanırım :)

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Cozume yakin bir cevap:

(x+1)2013 ile (x1)2013 deglerini toplarsan (x+1)2013 acilimindaki tek terimlerin toplaminin iki katini elde edebilirsin.

Basit bir ornek: (x+1)3(x1)3=2(x3+3x). Bunu genel olaak gormek biraz ugrastan sonra basit.

Peki bizim istedigimzi nedir? [21[(x+1)2013+(x1)2013]]x1 fonksiyonun x=2013 icin degeri. Kok korkutamsin cunku yukaridaki polinomda (!) x'in kuvvetleri cift.

Ayrica 2013\equiv 4=(\pm2)^2\mod 41 ve \phi(41)=41-1=40 (Euler phi fonksiyonu).

(25.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Buradan birşeyler geliyor sanırım hocam çok sağolun.

\left( \begin{matrix} 2013\\ 1\end{matrix} \right)+2013\left( \begin{matrix} 2013\\ 3\end{matrix} \right)+2013^2\left( \begin{matrix} 2013\\ 5\end{matrix} \right)+...+2013^{1006}\left( \begin{matrix} 2013\\ 2013\end{matrix} \right)=A dersek 

\left( \begin{matrix} 2013\\ 1\end{matrix} \right)+2^2\left( \begin{matrix} 2013\\ 3\end{matrix} \right)+2^4\left( \begin{matrix} 2013\\ 5\end{matrix} \right)+...+2^{2012}\left( \begin{matrix} 2013\\ 2013\end{matrix} \right)\equiv A (mod\ 41) olur.

2\left( \left( \begin{matrix} 2013\\ 1\end{matrix} \right)+2^2\left( \begin{matrix} 2013\\ 3\end{matrix} \right)+2^4\left( \begin{matrix} 2013\\ 5\end{matrix} \right)+...+2^{2012}\left( \begin{matrix} 2013\\ 2013\end{matrix} \right) \right)

=\frac{(2+1)^{2013}+(2-1)^{2013}}{2} o halde 4A\equiv (2+1)^{2013}+(2-1)^{2013}\equiv 3^{13}+1\equiv 39(mod\ 41) buldum fakat sonrasındaki bölme işlemini \frac{39+41}{4}=20 şeklinde mi buluyoruz emin olamadım bölme işleminde böyle mi yapılıyordu hocam? Cevap 20 bu arada.

2^{-1}=42/2=21.

Hocam düzenledim. Belki bildirim olarak görünmemiştir böylece kalmasın :)

Sorun yok. Ek sorum neden -2'yi degil de 2'yi kok olarak sectin? -2 ya da 2 secmek arasinda fark yok. Bunu da gormeni istiyorum. ONemli cunku.

Duzenlemeler gelmiyor bildirim olarak...

Sonrasında 2 ile çarptım A'yı kolay olması için. Pekala -2 verip A'yı -2 ile çarparak aynı sonucu bulabilirdik.

Peki benim 4A \equiv 39(mod\ 41) \rightarrow A \equiv \frac{39+41}{4}\equiv 20(mod\ 41) işlemim ne kadar doğruydu orada takıldım aslında.

Simdi bunlar teknik sorular. Bana sorarsan mantikli bu islem. Yani dogru cevabi verir.

Fakat matematiksel olarak karsimdakinden bekledigim: 39\times4^{-1}\equiv 39\times31 islemini yapmasi.

ya da buradaki gibi 4A\equiv (39+41)=4\times(20) olarak yazip her iki tarafi 4^{-1} ile carpmak. Bu yazimi tercih ederim.

Yukaridaki 4^{-1}\equiv 31'i bulmak zor degil. Neden? 4\times-10=-40\equiv 1

Zaten (tek) asallar ya 1\mod 4 ya da 3 \mod 4. Birinden +'dan digerinde -'den 4'un tersini rahatcana bulabilirsin.

Anladım hocam sağolun. İki şekilde de geliyor sorun olmuyor zaten :)
20,318 soru
21,875 cevap
73,597 yorum
2,900,128 kullanıcı