Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.8k kez görüntülendi

C[a,b], [a,b] aralığı üzerinde tüm sürekli fonksiyonların kümesini göstersin. d(f,g)=sup{|f(x)g(x)|:x[a,b]} , şeklinde tanımlı d fonksiyonunun C[a,b] üzerinde bir metrik olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.8k kez görüntülendi

hangi sartta takildin?

hocam aslında takılmadım birazdan çözümü yazarım yaptığım kadarıyla..:) aslında ödev sorumuz olur kendileri bi nevi amme hizmeti..son paylaştığım diğer sorularda da aynı durum söz konusu..ben cevapları yazdıktan sonra hatam varsa düzeltmeye yardımcı olursanız çok sevinirim ama hocam..:)

tamamdir. kolay gelsin :)

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Metrik olma şartları:

(M1): x,yR için d(x,y)=0x=y

(M2): x,yR için d(x,y)=d(y,x)

(M3): x,y,zR için d(x,z)d(x,y)+d(y,z)


(M1) ile başlarsak
d(f,g)=sup{|f(x)g(x)|:x[a,b]}=0|f(x)g(x)|=0,x[a,b]f(x)=g(x)f=g
(M2)
d(f,g)=sup{|f(x)g(x)|:x[a,b]}=sup{|g(x)f(x)|:x[a,b]}=d(g,f)
(M3) üçgen eşitsizliğini incelersek
d(f,g)=sup{|f(x)g(x)|:x[a,b]}sup{|f(x)h(x)+h(x)g(x)|:x[a,b]}sup{|f(x)h(x)|:x[a,b]}+sup{|h(x)g(x)|x[a,b]}d(f,h)+d(h,g)
elde edilir.
d fonksiyonu C[a,b] üzerinde metriktir.

(1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

İzninle bir şey sorucam..

|f(x)g(x)|+|g(x)h(x)|=d(f,g)+d(g,h) eşitliği d nin tanımı gereği ne kadar doğru? Burada  d(f,h) için kullanılan x değeri , d(f,g) ve d(g,h) için de supremum değer olur mu? Sanki "=" yerine "" olmalı. Gerçi bu sonucu değiştirmez ama, aklıma takıldı..

İzin alacak bisey yok..haklisin supremuma dikkat etmeden ilerlemisim ve " " daha şık olur..

Hiç sup göremedim cevapta. 

Mesela 3 için: birincisin sup'u a ve ikincinin sup'u b olsun. bu durumda a+b de verilen mutlak değerli üçgen eşitsizliğinden üçüncü için bir üst sınır teşkil edeceğinden a+b üçüncünün sup'undan büyük olur. Bu da sup'ların üçgen eşitsizliğini verir.

Bu haliyle farklı bir metriğin ispatı olmuş.

Supremuma gore duzenledim heralde bu sefer sikinti yok :)

20,314 soru
21,868 cevap
73,590 yorum
2,866,301 kullanıcı