Metrik olma şartları:
(M1): ∀x,y∈R için d(x,y)=0⇔x=y
(M2): ∀x,y∈R için d(x,y)=d(y,x)
(M3): ∀x,y,z∈R için d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)
(M1) ile başlarsak
d(f,g)=sup{|f(x)−g(x)|:x∈[a,b]}=0⇔|f(x)−g(x)|=0,x∈[a,b]⇔f(x)=g(x)⇔f=g
(M2)
d(f,g)=sup{|f(x)−g(x)|:x∈[a,b]}=sup{|g(x)−f(x)|:x∈[a,b]}=d(g,f)
(M3) üçgen eşitsizliğini incelersek
d(f,g)=sup{|f(x)−g(x)|:x∈[a,b]}≤sup{|f(x)−h(x)+h(x)−g(x)|:x∈[a,b]}≤sup{|f(x)−h(x)|:x∈[a,b]}+sup{|h(x)−g(x)|x∈[a,b]}≤d(f,h)+d(h,g)
elde edilir.
d fonksiyonu C[a,b] üzerinde metriktir.