$$d(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)| : x \in [a,b] \}$$ kuralı ile verilen $d$ fonksiyonunun $\mathcal{C}[a,b]$ üzerinde bir metrik olduğunu gösteriniz.

Question

$\mathcal{C}[a,b]$, $[a,b]$ aralığı üzerinde tüm sürekli fonksiyonların kümesini göstersin. $d(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)| : x \in [a,b] \}$ , şeklinde tanımlı $d$ fonksiyonunun $\mathcal{C}[a,b]$ üzerinde bir metrik olduğunu gösteriniz.

Comments

hangi sartta takildin?

---

hocam aslında takılmadım birazdan çözümü yazarım yaptığım kadarıyla..:) aslında ödev sorumuz olur kendileri bi nevi amme hizmeti..son paylaştığım diğer sorularda da aynı durum söz konusu..ben cevapları yazdıktan sonra hatam varsa düzeltmeye yardımcı olursanız çok sevinirim ama hocam..:)

---

tamamdir. kolay gelsin :)

Answer 1

Metrik olma şartları:

$(M1):$ $\forall x,y \in \mathbb{R}$ için $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$

$(M2):$ $\forall x,y \in \mathbb{R}$ için $d(x,y)=d(y,x)$

$(M3):$ $\forall x,y,z \in \mathbb{R}$ için $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$

(M1) ile başlarsak

$d(f,g)=sup\{|f(x)-g(x)| : x \in [a,b]\}=0 \Leftrightarrow |f(x)-g(x)|=0 ,x\in [a,b] \Leftrightarrow f(x)=g(x) \Leftrightarrow f=g$

(M2)

$d(f,g)=sup \{ |f(x)-g(x)|: x\in [a,b]\}=sup\{|g(x)-f(x)| : x\in [a,b]\}=d(g,f)$

(M3) üçgen eşitsizliğini incelersek

$d(f,g)=sup\{|f(x)-g(x)|: x\in [a,b]\}\leq sup\{|f(x)-h(x)+h(x)-g(x)|:  x\in [a,b]\} \leq sup\{ |f(x)-h(x)|: x\in [a,b] \} +sup\{|h(x)-g(x)| x\in [a,b]\} \leq d(f,h)+d(h,g)$

elde edilir.

$d$ fonksiyonu $C[a,b]$ üzerinde metriktir.

Comments

İzninle bir şey sorucam..

$|f(x)-g(x)|+|g(x)-h(x)|=d(f,g)+d(g,h)$ eşitliği $d$ nin tanımı gereği ne kadar doğru? Burada  $d(f,h)$ için kullanılan $x$ değeri , $d(f,g)$ ve $d(g,h)$ için de supremum değer olur mu? Sanki "$=$" yerine "$\leq$" olmalı. Gerçi bu sonucu değiştirmez ama, aklıma takıldı..

---

İzin alacak bisey yok..haklisin supremuma dikkat etmeden ilerlemisim ve " $\leq$" daha şık olur..

---

Hiç sup göremedim cevapta. 

Mesela 3 için: birincisin sup'u a ve ikincinin sup'u b olsun. bu durumda a+b de verilen mutlak değerli üçgen eşitsizliğinden üçüncü için bir üst sınır teşkil edeceğinden a+b üçüncünün sup'undan büyük olur. Bu da sup'ların üçgen eşitsizliğini verir.

---

Bu haliyle farklı bir metriğin ispatı olmuş.

---

Supremuma gore duzenledim heralde bu sefer sikinti yok :)