Question

$f(x)=\text{sgn } x$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ fonksiyonunun sürekli olmadığını fakat $g(x)=\text{sgn } x$ kuralı ile verilen $g:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ fonksiyonunun sürekli olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Emin degilim ama soyle bir cevabim var.

• Her acik(veya kapali) kumenin ongoruntusu (preimage?) acik(veya kapali) ise o fonksiyon sureklidir.
• Ayrik (discrete?) topolojiden baska bir topolojiye giden her fonksiyon sureklidir.

$f$ fonksiyonu icin $[0.5,2] \cup [-0.5,-2]$ kapali araliginin ongoruntusu $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ acik. Bu nedenle $f$ fonksiyonu surekli degil

$g$ fonksiyonun goruntu kumesi icin acik kumeler $\mathbb{Z}$ nin alt kumeleri. Yani ayrik  topoloji. Bu nedenle $g$ fonksiyonu surekli

Answer 2

$g$ icin verilen her $\epsilon>0$ icin $\delta=1/2$ secmek yeterli. Bu durunda $$|n-m|<\frac12 \implies n=m \implies |f(n)-f(m)|=0<\epsilon$$ saglanir. 

$f$ icin $$\lim_{x\to 0^+} f(x)=1 \;\;\; \text{ ve } \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-1$$ oldugundan limit noktasi olan $0$ noktasinda bir limit var olmadigindan sureklilik de olmaz.