Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
806 kez görüntülendi

Sonra da bu fonksiyonun hiçbir noktada sürekli olmadığını gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 806 kez görüntülendi

Bu soru vardi sanki. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Şu teoremi kullanarak kolayca gösterebiliriz.

Teorem: $A\subseteq\mathbb{R}$,  $f\in\mathbb{R}^A$ ve $a\in A$ olmak üzere

$$f,\  a\text{'da sürekli}\Leftrightarrow \left(\forall (x_n)\in A^{\mathbb{N}}\right)(x_n\to a\Rightarrow f(x_n)\to f(a)) $$ ya da buna denk olarak

$$f,\  a\text{'da süreksiz}\Leftrightarrow \left(\exists (x_n)\in A^{\mathbb{N}}\right)(x_n\to a\wedge f(x_n)\nrightarrow f(a)).$$Soruya tekrar dönecek olursak

$$\left(\frac{\sqrt{2}}{n}\right)\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$$ ve $$\frac{\sqrt{2}}{n}\to 0$$ fakat $$f\left(\frac{\sqrt{2}}{n}\right)=0\nrightarrow 1=f(0)$$ olduğundan $f$ fonksiyonu $0$ noktasında sürekli değildir. $\left(f\left(\frac{\sqrt{2}}{n}\right)=0\to 0\right).$

Benzer şekilde $$\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$$ ve $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$$ fakat $$f\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)=1\nrightarrow 0=f(e)$$ olduğundan $f$ fonksiyonu $e$ noktasında sürekli değildir. $\left(f\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)=1\rightarrow 1\right).$

Her noktada süreksiz olduğunu da egzersiz olarak bırakalım.

(11.4k puan) tarafından 
Sürekliliğin Bir Karakterizasyonu (Dizisel Süreklilik)
İlgili linkteki fonksiyonun $\pi$ noktasında sürekli olmadığını gösteriniz.
20,219 soru
21,752 cevap
73,354 yorum
1,988,406 kullanıcı