f fonksiyonunun (0,0) noktasında sürekli olduğunu göstermek için (∀ϵ>0)(∃δ>0)(∀(x,y)∈R2)(|x−0|+|y−0|<δ⇒|f(x,y)−f(0,0)|<ϵ)
önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
δ>0 sayısını bulmak için
|f(x,y)−f(0,0)|
ifadesi ile biraz oynayalım. Şöyle ki:
|f(x,y)−f(0,0)|=|x3−y3x2+y2−0|=|x−y|⋅|x2+xy+y2x2+y2|=|x−y|⋅|1+xyx2+y2|≤(|x|+|y|)⋅(1+|x|⋅|y|x2+y2)?≤δ⋅(1+12)=32δ
olduğundan her ϵ>0 sayısı için 0<δ<2ϵ3 seçilirse her (x,y)∈R2 için |x−0|+|y−0|=|x|+|y|<δ⇒|f(x,y)−f(0,0)|=|f(x,y)|<ϵ
yani
|x|+|y|<δ⇒|x3−y3x2+y2|≤3δ2<32⋅2ϵ3=ϵ
koşulu sağlanır. O halde
f fonksiyonu
(0,0) noktasında süreklidir.
NOT: "?" işaretinin bulunduğu yerdeki geçişi okura bırakalım.