$$f(x,y):=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^3-y^3}{x^2+y^2} & , & (x,y)\neq (0,0) \\ \\ 0 & , & (x,y)=(0,0) \end{array}\right.$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun $(0,0)$ noktasında sürekli olduğunu gösteriniz.

Question

Söz konusu fonksiyon düzgün sürekli midir?

Comments

kutupsal dönüşüm işe yarayabilir mi

Answer 1

$f$ fonksiyonunun $(0,0)$ noktasında sürekli olduğunu göstermek için $$(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2)(|x-0|+|y-0|<\delta\Rightarrow |f(x,y)-f(0,0)|<\epsilon)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz. $\delta>0$ sayısını bulmak için $$|f(x,y)-f(0,0)|$$ ifadesi ile biraz oynayalım. Şöyle ki:

$$\begin{array}{rcl} |f(x,y)-f(0,0)| & = & \Big{|}\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}-0\Big{|} \\ \\ & = & |x-y| \cdot\Big{|}\frac{x^2+xy+y^2}{x^2+y^2}\Big{|} \\  \\ & = & |x-y| \cdot\Big{|}1+\frac{xy}{x^2+y^2}\Big{|}  \\  \\ & \leq  & (|x|+|y|) \cdot\left( 1+\frac{|x|\cdot|y|}{x^2+y^2}\right) \\  \\ & \overset{?}\leq  & \delta \cdot\left( 1+\frac{1}{2}\right)  \\  \\ & = & \frac{3}{2}\delta \end{array} $$

olduğundan her $\epsilon>0$ sayısı için $0<\delta<\frac{2\epsilon }{3}$ seçilirse her $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ için $$|x-0|+|y-0|=|x|+|y|<\delta\Rightarrow |f(x,y)-f(0,0)|=|f(x,y)|<\epsilon$$ yani $$|x|+|y|<\delta\Rightarrow \Big{|}\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}\Big{|}\leq \frac{3\delta}{2}< \frac32\cdot \frac{2\epsilon}{3}=\epsilon$$ koşulu sağlanır. O halde $f$ fonksiyonu $(0,0)$ noktasında süreklidir.

 

NOT: "?" işaretinin bulunduğu yerdeki geçişi okura bırakalım.