Adım adım gidelim.
Tanım-1: $a,b\in\mathbb{R},$ $a<b$ ve $a=x_0<x_1<x_2<\ldots <x_{n-1}<x_n=b$ olmak üzere
$$P:=\{a=x_0,x_1,x_2,\ldots ,x_{n-1},x_n=b\}$$ kümesine, $[a,b]$ aralığının bir bölüntüsü denir.
Bir $[a,b]$ kapalı aralığının tüm bölüntülerinin oluşturduğu aileyi
$$\mathcal{P}_{[a,b]}:=\{P|P, [a,b]\text{'nin bölüntüsü}\}$$ ile gösterelim.
Tanım-2: $a,b\in\mathbb{R},$ $a<b,$ $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ sınırlı bir fonksiyon ve $P\in \mathcal{P}_{[a,b]}$ olsun.
$$L(f;P):=\sum_{i=0}^n\inf\{f(x)|x_{i-1}\leq x\leq x_i\} \cdot (x_i-x_{i-1})$$ sayısına $f$ fonksiyonunun $P$ bölüntüsüne göre alt toplamı; benzer şekilde
$$U(f;P):=\sum_{i=0}^n\sup \{f(x)|x_{i-1}\leq x\leq x_i\} \cdot (x_i-x_{i-1})$$ sayısına da $f$ fonksiyonunun $P$ bölüntüsüne göre üst toplamı denir.
Tanım-3: $a,b\in\mathbb{R},$ $a<b$ ve $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ sınırlı bir fonksiyon olsun. Eğer her $P$ bölüntüsüne karşı elde edilen alt toplamların oluşturduğu kümenin supremumu (bu supremumun varlığını garanti etmelisin (Ödev)), üst toplamların oluşturduğu kümenin infimumuna (bu infimumun varlığını garanti etmelisin (Ödev)) eşitse yani
$$L(f):=\sup \{L(f;P)|P\in\mathcal{P}_{[a,b]}\}$$ ve $$U(f):=\inf \{U(f;P)|P\in\mathcal{P}_{[a,b]}\}$$ olmak üzere
$$L(f)=U(f)$$
ise o zaman $f$ fonksiyonu $[a,b]$ aralığında Riemann anlamında integrallenebilir denir ve $$\int_a^b f$$ veya $$\int_a^bf(x)dx$$ ile gösterilir.
Bu soruda hangi $P$ bölüntüsünü alırsan al $$L(f;P)=\ldots$$ çıkacağını görmüşsündür veya görmen zor değil ($\ldots$ kısmını sen doldur). Şimdi farklı birkaç $P$ bölüntüsü alarak $U(f;P)$ üst toplamının hangi aralığı taradığını bulmaya çalış. $3$-$5$ tane farklı bölüntü için üst toplamı hesapladığında değişik $P$ bölüntülerine karşılık elde edeceğin üst toplamların hangi aralıkta değişeceğini tahmin edebilirsin. Bunu bulduktan sonra zaten son bir adım kalıyor. O da
$$\sup \{L(f;P)|P\in\mathcal{P}_{[a,b]}\}=\inf \{U(f;P)|P\in\mathcal{P}_{[a,b]}\}$$ eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığı.