Question

$a\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$ olmak üzere süreklilik tanımından hareketle $$f(x)=\frac{1}{x}$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun $a$ noktasında sürekli olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Bulmaya çalıştığımız $\delta$ sayısını $\frac{|a|}{2}$ sayısından küçük seçeceğimize yani $$|x-a|<\delta\leq \frac{|a|}{2}$$ seçeceğimize söz verelim.
$$\left||x|-|a|\right|\leq |x-a|<\delta\leq \frac{|a|}{2}\Rightarrow -\frac{|a|}{2}<|x|-|a|<\frac{|a|}{2}\Rightarrow \frac{|a|}{2}<|x|<\frac{3|a|}{2}\ldots (*)$$ $$\left|f(x)-f(a)\right|=\left|\frac1x-\frac1a\right|=\frac{|x-a|}{|a|\cdot|x|}<\frac{\delta}{|a|\cdot|x|}\overset{(*)}{<}\frac{\delta}{|a|\cdot\frac{|a|}{2}}=\frac{2\delta}{a^2}$$ olduğundan her $\epsilon>0$ için $0<\delta\leq \min \left\{\frac{|a|}{2},\frac{a^2\epsilon}{2}\right\}$ seçilirse (hem sözümüzü tutmuş oluruz hem de)
$$|x-a|<\delta\Rightarrow \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right|<\ldots<\frac{2\delta}{a^2}=\frac{2}{a^2}\cdot \min\left\{\frac{|a|}{2},\frac{a^2\epsilon}{2}\right\}\leq\epsilon$$ koşulu sağlanır. O halde $f$ fonksiyonu $a$ noktasında süreklidir.