Question

$a\in\mathbb{R}$ olmak üzere süreklilik tanımından hareketle $f(x)=x^3$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ fonksiyonunun $a$ noktasında sürekli olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$$\begin{array}{rcl} |x^3-a^3| & = & |x - a|\cdot |x^2 + ax+ a^2| \\ \\ & < & \delta\cdot |x^2-a^2+ax-a^2+3a^2| \\ \\ & \le & \delta\cdot (| x^2 - a^2 | + |a|\cdot |x - a|+3a^2)  \\ \\ & = & \delta\cdot (|x-a |\cdot |x - a +2a|+|a|\cdot |x - a|+3a^2) \\ \\ & < & \delta \cdot (\delta\cdot |x - a + 2a|+ |a|\cdot \delta +3a^2) \\ \\ & \le & \delta (\delta(|x - a|+2|a|) +|a|\cdot \delta +3a^2 ) \\ \\ & < & \delta (\delta (\delta+2|a| )+|a|\cdot \delta + 3a^2) \\ \\ & =  & \delta\cdot (\delta^2 + 2|a|\delta +|a|\delta + 3a^2) \\ \\ & =  & \delta^3 + 3|a|\delta^2 + 3|a|^2\delta \\ \\ & = &(\delta+|a|)^3-|a|^3\end{array}$$

olduğundan her $\epsilon>0$ için $0<\delta\leq \sqrt[3]{|a|^3+\epsilon}-|a|$ seçilirse her $x\in\mathbb{R}$ için

$$|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\ldots \leq (\delta+|a|)^3-|a|^3 \leq \left(\sqrt[3]{|a|^3+\epsilon}-|a|+|a|\right)^3-|a|^3=\epsilon$$ koşulu sağlanır. O halde $f$ fonksiyonu $a$'da süreklidir. $a\in\mathbb{R}$ keyfi olduğundan $f$ fonksiyonu $(\mathbb{R}$'de$)$ süreklidir.

Comments

Bu çözümde, en iyi (en büyük) $\delta$ bulunmuş.

Daha az hesap içeren, ama en iyi $\delta$ sayısını bulmayan, (zaten tanıma göre, bir $\delta$ bulmak yeterli) biraz farklı bir yöntem daha var, o çözüm yolu da eklenebilirse iyi olur.

Kimse yazmazsa ben eklerim.

---

Daha az hesap içermeyen diğer bir yol da şu olabilir.

$|x - a|<\delta\leq 1$ kısıtı altında bir $\delta$ pozitif sayısının var olduğunu şöyle gösterebiliriz.

$$\begin{array}{rcl} |x^3-a^3| & = & |x - a|\cdot |x^2 + ax+ a^2| \\ \\ & < & \delta\cdot |x^2-a^2+ax-a^2+3a^2| \\ \\ & \le & \delta\cdot (| x^2 - a^2 | + |a|\cdot |x - a|+3a^2)  \\ \\ & = & \delta\cdot (|x-a |\cdot |x - a +2a|+|a|\cdot |x - a|+3a^2) \\ \\ & < & \delta \cdot (\delta\cdot |x - a + 2a|+ |a|\cdot \delta +3a^2) \\ \\ & \le & \delta (\delta(|x - a|+2|a|) +|a|\cdot \delta +3a^2 ) \\ \\ & < & \delta (\delta (\delta+2|a| )+|a|\cdot \delta + 3a^2) \\ \\ & =  & \delta\cdot (\delta^2 + 2|a|\delta +|a|\delta + 3a^2) \\ \\ & =  & \delta^3 + 3|a|\delta^2 + 3|a|^2\delta \\ \\ & \leq & \delta (1+3|a|+3|a|^2)\end{array}$$

olduğundan her $\epsilon>0$ için $0<\delta\leq \min\left\{1,\frac{\epsilon}{1+3|a|+3|a|^2}\right\}$ seçilirse her $x\in\mathbb{R}$ için

$$|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\ldots \leq \min\left\{1,\frac{\epsilon}{1+3|a|+3|a|^2}\right\}\cdot (1+3|a|+3|a|^2)\leq \epsilon$$ koşulu sağlanır. O halde $f$ fonksiyonu $a$'da süreklidir. $a\in\mathbb{R}$ keyfi olduğundan $f$ fonksiyonu $(\mathbb{R}$'de$)$ süreklidir.

---

Bu çözüm, biraz daha da kısaltılabilir:

$\delta\leq1$ (seçileceği) kabul edildiğinde:

$|x-a|<\delta$ olduğunda $|x|<|a|+1$ olur ve (artık daha az $\delta$ kullanabiliriz)

$\begin{align*}|x^3-a^3|  &=  |x - a|\cdot |x^2 + ax+ a^2|\leq|x-a|(|a|+1)^2+|a|(|a|+1)+|a|^2)\\&=|x-a|(3|a|^2+3|a|+1)<(3|a|^2+3|a|+1)\delta\end{align*}$

olur ve ($\delta\leq1$ e ek olarak) $(3|a|^2+3|a|+1)\delta\leq\varepsilon$ seç(ebil)mek yeterli olacaktır.

Buradan da,

$\delta=\min\left\{1,\frac1{3|a|^2+3|a|+1}\right\}$ seçildiğinde her iki koşulumuzun da sağlandığı görülür.