Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
790 kez görüntülendi
aR olmak üzere süreklilik tanımından hareketle f(x)=x3 kuralı ile verilen f:RR fonksiyonunun a noktasında sürekli olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 790 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
|x3a3|=|xa||x2+ax+a2|<δ|x2a2+axa2+3a2|δ(|x2a2|+|a||xa|+3a2)=δ(|xa||xa+2a|+|a||xa|+3a2)<δ(δ|xa+2a|+|a|δ+3a2)δ(δ(|xa|+2|a|)+|a|δ+3a2)<δ(δ(δ+2|a|)+|a|δ+3a2)=δ(δ2+2|a|δ+|a|δ+3a2)=δ3+3|a|δ2+3|a|2δ=(δ+|a|)3|a|3

olduğundan her ϵ>0 için 0<δ3|a|3+ϵ|a| seçilirse her xR için

|xa|<δ|f(x)f(a)|<(δ+|a|)3|a|3(3|a|3+ϵ|a|+|a|)3|a|3=ϵ koşulu sağlanır. O halde f fonksiyonu a'da süreklidir. aR keyfi olduğundan f fonksiyonu (R'de) süreklidir.
(88 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Bu çözümde, en iyi (en büyük) δ bulunmuş.

Daha az hesap içeren, ama en iyi δ sayısını bulmayan, (zaten tanıma göre, bir δ bulmak yeterli) biraz farklı bir yöntem daha var, o çözüm yolu da eklenebilirse iyi olur.

Kimse yazmazsa ben eklerim.

Daha az hesap içermeyen diğer bir yol da şu olabilir.

|xa|<δ1 kısıtı altında bir δ pozitif sayısının var olduğunu şöyle gösterebiliriz.

|x3a3|=|xa||x2+ax+a2|<δ|x2a2+axa2+3a2|δ(|x2a2|+|a||xa|+3a2)=δ(|xa||xa+2a|+|a||xa|+3a2)<δ(δ|xa+2a|+|a|δ+3a2)δ(δ(|xa|+2|a|)+|a|δ+3a2)<δ(δ(δ+2|a|)+|a|δ+3a2)=δ(δ2+2|a|δ+|a|δ+3a2)=δ3+3|a|δ2+3|a|2δδ(1+3|a|+3|a|2)

olduğundan her ϵ>0 için 0<δmin{1,ϵ1+3|a|+3|a|2} seçilirse her xR için

|xa|<δ|f(x)f(a)|<min{1,ϵ1+3|a|+3|a|2}(1+3|a|+3|a|2)ϵ koşulu sağlanır. O halde f fonksiyonu a'da süreklidir. aR keyfi olduğundan f fonksiyonu (R'de) süreklidir.
Bu çözüm, biraz daha da kısaltılabilir:

δ1 (seçileceği) kabul edildiğinde:

|xa|<δ olduğunda |x|<|a|+1 olur ve (artık daha az δ kullanabiliriz)

|x3a3|=|xa||x2+ax+a2||xa|(|a|+1)2+|a|(|a|+1)+|a|2)=|xa|(3|a|2+3|a|+1)<(3|a|2+3|a|+1)δ

olur ve (δ1 e ek olarak) (3|a|2+3|a|+1)δε seç(ebil)mek yeterli olacaktır.

Buradan da,

δ=min{1,13|a|2+3|a|+1} seçildiğinde her iki koşulumuzun da sağlandığı görülür.
20,298 soru
21,842 cevap
73,542 yorum
2,741,689 kullanıcı