$ \sqrt{-1} $ = i mi yoksa $ i^{2} $ = -1 mi?

Question

$ \sqrt{-1} $ = $ i $ diyoruz , diğer yandan $ i^{2} $ = -1 diyouz. ilk kısımda $ \sqrt{-1} $'in ve $ i $'in karesini alınca köklü ifadeyi mutlak değer içine almıyor muyuz? $ \left| -1\right| $ = $ i^{2} $ kısmınını anlamıyorum. $ i^{2} $ mutlak değer içine alınmış bir ifadeye eşitse nasıl -1 olabiliyor?

ama $ i^{2} $ = -1 dediğimizde her iki tarafın karekökünü alınca $ \sqrt{-1} $ = $ i $. bugüne kadar öğrendiklerimle bu şekilde doğruymuş gibi ama tersini düşününce kafam karışıyor.

Matematikçiler bazen bazı şeyleri varsayarak, belirli bir tanım yaparak inşa etmişler bazı konuları, bu da mı öyle bir şey?

Bilmiyorum, çok basit bir soru da soruyor olabilirim ama anlamadım, hocam da sadece böyle bil deyince iyice merak ettim ?

Comments

Şuradaki linkte Lokman Gökçe'nin cevabı altında biraz konuşmuştuk bu konu hakkında. Belki işe yarar.

---

$x^2+1=0$ denkleminin $\mathbb{R}$'de çözümü yok. Bundan dolayı, bir tane hayali(imaginary) sayı kabul edilmiş.

$x^2=-1 \to x= (+-) \sqrt -1$. Buradan $i=\sqrt -1$ olsun denilmiş. Öbür türlüde kabul edilebilirdi, farketmez. Devamında, $i^2=-1$ oluyor.

Answer 1

Çok yerinde bir soru. Doğrusu $i^2=-1$, çünkü $i$'yi cebirsel olarak $x^2=-1$ denkleminin bir kökü olarak tanımlarız. Bu denklemin iki kökü olabilir, bunları $\sqrt-1$ ve $-\sqrt-1$ ile gösterelim. Yalnız dikkat etmeliyiz, $\sqrt-1$ bir reel sayı değil, yani sayı doğrusu üzerinde değil. O yüzden bunun sıfırın sağında ya da solunda olmasından, yani pozitif ya da negatif olması gibi bir şeyden bahsedemiyoruz. Yani teorik olarak $i=\sqrt-1$ de olabilir, $i=-\sqrt-1$ de, biz seçebiliriz. Neyse ki hangisini seçtiğimiz, karmaşık(bileşik) sayılar teorisi için hiç bir şey değiştirmiyor. Çünkü $i$'nin tek ilgilendiğimiz özelliği, karesinin $-1$ olması. Ve iki tercihimiz de bu özelliği sağlıyor.

Answer 2

Karekök fonksiyonu reel sayılarda tanımlıdır.Dolayısıyla tanımı gereği içerisine negatif bir sayı yazamayız.Çoğu  üniversiteye hazırlık kitabında buna maalesef sık sık rastlıyoruz.İşin doğrusu $$ i^{2}=-1 $$ yazmaktır.