Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere $$\tau(A):=\{U\cup (V\cap A)|U,V\in\tau\}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.

a) $\tau\subseteq \tau(A)$ olduğunu gösteriniz.

b) $\tau=\tau(A)\Leftrightarrow A\in\tau$ olduğunu gösteriniz.

 

Not: $\tau(A)$ topolojisine, $\tau$ topolojisinin basit genişlemesi denir. 

Answer 1

$( X, \tau)$  topolojik uzay ve $A \subseteq X$  olsun.

$\tau(A):=\{U\cup (V\cap A)|U,V\in\tau\}$  ailesi $X$ kümesi üzerinde topolojidir.

$T_1)$ $\emptyset,X \overset{?}{\in} \tau(A).$  

$\left.\begin{array}{rr} (U:=\emptyset)(V:=\emptyset) \Rightarrow (U,V\in\tau)(U\cup ( V\cap A)=\emptyset\cup (\emptyset \cap A)=\emptyset) \\ \\ \tau(A):=\{U\cup (V\cap A)|U,V\in\tau \}\end{array}\right\}\Rightarrow \emptyset \in\tau(A).$

 

$\left.\begin{array}{rr} (U:=X)(V\in\tau) \Rightarrow (U,V\in\tau)(U\cup ( V\cap A)=X\cup (V\cap A)=X) \\ \\ \tau(A):=\{U\cup (V\cap A)|U,V\in\tau \}\end{array}\right\}\Rightarrow X \in\tau(A).$

$T_2)$ $M,N \in \tau (A)$ olsun. (Amacımız $M \cap N \in \tau(A)$ olduğunu göstermek.)

$\left.\begin{array}{rr} M \in \tau(A) \Rightarrow ( \exists U_1 , V_1 \in \tau )  (  M= U_1 \cup (V_1 \cap A ))\\ \\  N \in \tau(A) \Rightarrow ( \exists  U_2 , V_2 \in \tau ) ( N= U_2 \cup (V_2 \cap A ))  \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow M \cap N = [ U_1 \cup (V_1 \cap A ) ] \cap [ U_2 \cup ( V_2 \cap A)]$

$=\{ [ U_1 \cup ( V_1 \cap A ) ] \cap U_2 \} \cup \{ [ U_1 \cup ( V_1 \cap A ) ] \cap ( V_2 \cap A ) \}$

$= [ ( U_1 \cap U_2 ) \cup (( V_1 \cap A ) \cap U_2) ] \cup  [ ( U_1 \cap ( V_2 \cap A ) ) \cup ( V_1 \cap V_2 \cap A ) ]$

$= U_1 \cap U_2 \cup (( V_1 \cap U_2) \cap A ) \cup ( U_1 \cap V_2 ) \cap A \cup ( V_1 \cap V_2 \cap A )$

$\left.\begin{array}{rr} = ( U_1 \cap U_2 ) \cup ( ( V_1 \cap U_2) \cup (U_1 \cap V_2 ) \cup ( V_1 \cap V_2 )) \cap A \\ \\   U:= U_1 \cap U_2 \\ \\  V:=(V_1 \cap U_2 ) \cup (U_1 \cap V_2 ) \cup ( V_1 \cap V_2) \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow ( U, V \in \tau ) ( M \cap N = U \cup ( V \cap A ))$

$\Rightarrow M \cap N \in \tau (A).$

 

$T_3)$  $\mathcal{A} \subseteq \tau(A)$ olsun. (Amacımız $\bigcup\mathcal{A} \in \tau(A)$ olduğunu göstermek.)

$\emptyset \in \mathcal{A} \Rightarrow \bigcup \mathcal{A} =\emptyset \in \tau(A)$

$X \in \mathcal{A} \Rightarrow \bigcup \mathcal{A} = X \in \tau(A)$

$\emptyset , X \notin \mathcal{A} \Rightarrow \{ U \cup ( V \cap A ) | U,V \in \tau \}$

$\bigcup \mathcal{A} = \bigcup \{ U \cup ( V \cap A ) | U,V \in \tau \} \Rightarrow \bigcup \mathcal{A} \in \tau(A)$

 

$\tau(A) , \text{ X kümesi üzerinde bir topolojidir.}$

Comments

$T_3$ olmamış @Bilge zc. Onu bir daha düşün.