Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $Y\subseteq X$ olsun. $$\tau_{(Y)}:=\{T\cup A|(T\in\tau)(A\subseteq X\setminus Y)\}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.

 

Not: Bu $(X,\tau_{(Y)})$ topolojik uzayına $(X,\tau)$ topolojik uzayının ayrık genişlemesi denir. 

Answer 1

$T_1)$  $\emptyset$ ve $X$'in $\tau$'nun elemanı olduğunu gösterelim.

• $ {(\emptyset \in \tau)(\emptyset \subseteq X\setminus Y)  \\[4pt] \tau_{(Y)}=\{\tau \cup A : (T \in \tau)(A \subseteq X\setminus Y) \} } \Bigg{\rbrace}  \Rightarrow\emptyset \cup \emptyset =\emptyset \in \tau_{(Y)}  $ 
• $T:=X  \\[4pt]  A\subseteq X \setminus Y \Rightarrow (T \in \tau)(A\subseteq X \setminus Y)\Rightarrow T\cup A=X \in \tau_{(Y)} $

 

 

$T_2)$ $M,N \in \tau_{(y)}$ olsun. Amacıız $M\cap N \in \tau_{(y)} $ olduğunu göstermek.

${M \in \tau_{(y)} \Rightarrow (\exists T_1 \in \tau)(A_1 \subseteq X \setminus Y)(M=T_1 \cup A_1) \\  N \in \tau_{(y)} \Rightarrow (\exists T_2 \in \tau)(A_2 \subseteq X \setminus Y)(N=T_1 \cup A_2) }  \Bigg{\rbrace} \Rightarrow \\ \Rightarrow (T_1 \cap T_2 \in \tau) \Bigg(\Big(  (T_1 \cap A_2) \cup (A_1 \cap T_2) \cup (A_1 \cap A_2) \Big) \subseteq X \setminus Y \Bigg) \\ \Rightarrow M \cap N \in \tau_{(Y)}  $

 

$T_3)$  $\mathcal{A} \subseteq \tau $ olsun. Amacımız $\bigcup \mathcal{A} \in \tau$ olduğunu göstermek.

$\mathcal{A} \subseteq \tau \Rightarrow ( \forall B \in \mathcal{A})(\exists T \in \tau)  (\exists A \subseteq X \setminus Y)(B=T\cup A) $

$ \Rightarrow \bigcup \mathcal{A} =  \underset{B \in \mathcal{A}}{\bigcup}  B=  \underset{T \in \tau}  {\underset{A \subseteq X \setminus Y}\bigcup}  T\cup A = \Big( \underset{T \in \tau }{\bigcup}T \Big) \cup \Big(  \underset{A \subseteq X \setminus Y }{\bigcup}A \Big)             $

$ \Rightarrow   \bigcup \mathcal{A} \in \tau $