T1) ∅∈τ olduğu verilmiş.
Rc=∅ ve ∅, U-kompakt olduğundan R∈τ.
T2) A,B∈τ olsun.
A,B∈τ⇒[(A=∅∨B=∅)∨(A≠∅)(B≠∅)]
I. durum: A=∅∨B=∅ olsun.
(A=∅∨B=∅)⇒A∩B=∅∈τ.
II. durum: A≠∅ ve B≠∅ olsun.
∅≠A∈τ⇒Ac, U-kompakt∅≠B∈τ⇒Bc, U-kompakt}?⇒(A∩B)c=Ac∪Bc, U-kompakt⇒A∩B∈τ.
Not: Soru işaretinin gerekçesine buradaki linkten ulaşabilirsiniz.
T3) A⊆τ olsun. (∅∉A olduğunu varsayabiliriz. Neden?)
A∈A⊆τ⇒Ac, U-kompakt⇒Ac, U-kapalı ve sınırlı⇒⋂A∈AAc, U-kapalı ve sınırlı⇒∖(⋃A)=⋂A∈AAc, U-kompakt⇒⋃A∈τ.