Question

$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi ve $\tau=\left\{A\big{|}|\setminus A|<\aleph_0\right\}\cup\{\emptyset\}$ olmak üzere $(\mathbb{R},\tau)$ topolojik uzayının kompakt (tıkız) olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\mathcal{A}\subseteq\tau$ ve $\mathbb{R}=\cup\mathcal{A}$ yani $\mathcal{A}$ ailesi, $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesinin bir $\tau$-açık örtüsü olsun. $(\emptyset\notin \mathcal{A}$ olduğunu varsayabiliriz. Neden?)

$A\in \mathcal{A}\Rightarrow |\setminus A|<\aleph_0\Rightarrow (\exists x_1,x_2,\ldots,x_n\in \mathbb{R})(\setminus A=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\})$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\exists x_1,x_2,\ldots,x_n\in \mathbb{R})(\mathbb{R}=A\cup (\setminus A)=A\cup\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}) \\ \\ \mathbb{R}=\cup\mathcal{A}\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\exists B_1,B_2,\ldots, B_n\in\mathcal{A})(x_1\in B_1)(x_2\in B_2)\ldots (x_n\in B_n) \\ \\ \mathcal{A}^*:=\{A,B_1,B_2,\ldots,B_n\}\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|=n+1<\aleph_0)(\mathbb{R}=\cup\mathcal{A}).$