Question

$X$ boştan farklı herhangi küme ve $$\tau=\left\{A\big{|}|\setminus A|<\aleph_0\right\}\cup \{\emptyset\}$$ olmak üzere $(X,\tau)$ topolojik uzayının bir kompakt uzay olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Bir $A\subseteq X$  icin herhangi bir acik ortusunu alalim. Bu ortudeki bir $B$ icin $A\setminus B \subseteq X\setminus B$ sonlu olur. Bu sonlu eleman sayisi $n$ olsun. Ortumuzde her bir elemani iceren $A_1,\cdots,A_n$ kumeleri vardir, ortu oldugundan zaten olmali da... Bu durumda $$A\subseteq B \cup \left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right)$$ olur.

Answer 2

$n\in\mathbb{N}$ olmak üzere $$|X|=n\Rightarrow |\tau|=|2^X|=2^{|X|}=2^n<\aleph_0$$ olur. Bu durumda sadece uzayın kendisi değil uzayın tüm altkümelerinin $\tau$-kompakt olacağı aşikar. $X$ kümesinin sonlu bir küme olmadığı durumu düşünelim.

$\mathcal{A}\subseteq\tau$  ve  $X=\cup\mathcal{A}$  yani  $\mathcal{A}$  ailesi,  $X$  kümesinin bir $\tau$-açık örtüsü olsun. $(\emptyset\notin\mathcal{A}$ varsayabiliriz. Neden?)

$A\in \mathcal{A}\subseteq\tau\Rightarrow |\setminus A|<\aleph_0\Rightarrow(\exists x_1,x_2,\ldots ,x_n\in X)(\setminus A=\{x_1,x_2,\ldots ,x_n\})$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists x_1,x_2,\ldots ,x_n\in X)(X=A\cup(\setminus A)=A\cup \{x_1,x_2,\ldots ,x_n\}) \\ \\ X=\cup\mathcal{A}\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow(\exists B_1,B_2,\ldots ,B_n\in \mathcal{A})(x_1\in B_1)(x_2\in B_2)\ldots (x_n\in B_n) \\ \\ \mathcal{A}^*:=\{A,B_1,B_2,\ldots,B_n\}\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (\mathcal{A}^*\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|=n+1<\aleph_0)(X=\cup\mathcal{A}^*).$