Question

$ X $ herhangi bir küme ve $\tau=\left\{A\big{|}|\setminus A|<\aleph_0\right\}\cup\{\emptyset\}$ olmak üzere  $$ | X | < \aleph_0 \Rightarrow \tau=2^X$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$ |X| <\aleph_0 $ ve $ A \in 2^X $ olsun .

 $(X,\tau), \text{ topolojik uzay}\Rightarrow \tau, X\text{'de topoloji}\Rightarrow \tau \subseteq 2^X \ldots (1)$

 

$\left.\begin{array}{rr} A\in 2^X\Rightarrow A\subseteq X\Rightarrow X\setminus A\subseteq X\Rightarrow |X\setminus A|\leq |X| \\ \\|X|<\aleph_0  \end{array}\right\}\Rightarrow|X\setminus A|<\aleph_0\Rightarrow A\in \tau$

elde edilir. O halde $$2^X\subseteq \tau\ldots (2)$$ olur.

$(1),(2)\Rightarrow \tau=2^X.$

Comments

Yine, karşıtı ($\tau=2^X\implies |X|<\aleph_0$) da doğru oluyor.

EK: Bunu göstermenin bir yolu: $X$ sonsuz ise $\tau\neq2^X$ olduğunu göstermektir.

---

Haklisiniz Dogan hocam. teşekkürler