Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
104 kez görüntülendi
$X$ herhangi bir küme ve $\tau=\left\{A\big{|}|\setminus A|\leq\aleph_0\right\}\cup\{\emptyset\}$ olmak üzere $$|X|\leq\aleph_0\Rightarrow\tau=2^X$$ olduğunu gösteriniz.

 

NOT: X ' in sayılabilir olduğunu unutmayalım.
Lisans Matematik kategorisinde (58 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 104 kez görüntülendi
$\tau=2^X\implies |X|\leq\aleph_0$ de olur mu acaba?
Olmadığını düşünüyorum.
$X$ sonlu ise $|X|\leq\aleph_0$ olur.

$X$ sonsuz ise bir $x_1\in X$ alalım.

$U=\{x_1\}$ olsun, $\emptyset\neq U\in \tau$ ve $\backslash U=X\setminus\{x_1\}$ olur.

Öyleyse ($\tau$ nun tanımından) $|X\setminus\{x_1\}|\leq\aleph_0 $ olmalıdır.

Buradan da, $|X|\leq\aleph_0$ (dolayısıyla, $|X|=\aleph_0$) elde edilir.
Teşekkürler hocam.
19,120 soru
21,041 cevap
69,891 yorum
23,389 kullanıcı