$(\mathbb{R},\tau)$ topolojik uzayının bir Hausdorff uzayı olmadığını gösteriniz.

Question

İlgili sorudaki $(\mathbb{R},\tau)$ topolojik uzayının bir Hausdorff uzayı olmadığını gösteriniz.

Answer 1

$(\mathbb{R},\tau)$ topolojik uzayının Hausdorff uzayı olduğunu varsayalım. $x,y\in \mathbb{R}$  ve  $x\neq y$  olsun.

$\left.\begin{array}{rr} (x,y\in X)(x\neq y) \\ \\ (\mathbb{R},\tau), \text{ Hausdorff uzayı}\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x))(\exists V\in\mathcal{U}(x))(U\cap V=\emptyset)$

$\Rightarrow (U^c, \ \mathcal{U} \ \text{-kompakt})(V^c, \ \mathcal{U} \ \text{-kompakt})(U^c\cup V^c=(U\cap V)^c=\emptyset^c=\mathbb{R})$

$\Rightarrow (U^c\cup V^c, \ \mathcal{U} \ \text{-kompakt})(U^c\cup V^c=\mathbb{R})$ 

Bu ise $\mathbb{R}$'nin $\mathcal{U}$-kompakt olmaması ile çelişir.