Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
265 kez görüntülendi

İlgili sorudaki $(\mathbb{R},\tau)$ topolojik uzayının bir Hausdorff uzayı olmadığını gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (10.8k puan) tarafından  | 265 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(\mathbb{R},\tau)$ topolojik uzayının Hausdorff uzayı olduğunu varsayalım. $x,y\in \mathbb{R}$  ve  $x\neq y$  olsun.


$\left.\begin{array}{rr} (x,y\in X)(x\neq y) \\ \\ (\mathbb{R},\tau), \text{ Hausdorff uzayı}\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x))(\exists V\in\mathcal{U}(x))(U\cap V=\emptyset)$


$\Rightarrow (U^c, \ \mathcal{U} \ \text{-kompakt})(V^c, \ \mathcal{U} \ \text{-kompakt})(U^c\cup V^c=(U\cap V)^c=\emptyset^c=\mathbb{R})$


$\Rightarrow (U^c\cup V^c, \ \mathcal{U} \ \text{-kompakt})(U^c\cup V^c=\mathbb{R})$ 


Bu ise $\mathbb{R}$'nin $\mathcal{U}$-kompakt olmaması ile çelişir.

(10.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
19,701 soru
21,398 cevap
71,866 yorum
213,863 kullanıcı