Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
277 kez görüntülendi
$(X,\tau)$ topolojik uzay, $(x_n)\in X^{\mathbb{N}}$  ve  $a,b\in X$  olsun.  $$(X,\tau), \ T_2 \text{ uzayı}\Rightarrow [(x_n\to a)(x_n\to b) \Rightarrow a=b]$$  olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (71 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 277 kez görüntülendi
$T_2$ uzayi olmasi demek iki farkli nokta icin oyle komsuluklar vardir ki kesisimi bos kume demek degil mi ?

sanirim topolojik uzaylarda yakinsama da soyle oluyor, $x_n\to x_0$ ise $x_0$ in her komsulugu $\mathcal{U}$ icin oyle bir $N$ vardir ki her $ n> N $ icin $x_n \in \mathcal{U}$ .

varsayalim ki $a$ ile $b$ farkli olsun. O zaman oyle $U_a$ ve $U_b$ komsuluklari vardir ki $U_a \cap U_b = \{\}$.

Ote yandan bu $U_a$ ve $U_b$ ler icin oyle $N_a$ ve $N_b$ ler vardir ki her $n>max(N_a,N_b)$ icin  $x_n \in U_a \land x_n \in U_b$

Celiski!

demek ki $a=b$

gibi nacizhane bir kanit onerim var. Dogrulugundan cok emin degilim

İki farklı noktanın kesişmeyen komşuluklarının olduğu her zaman doğru değil. Zaten soruda sorulan ifade de her topolojik uzayda doğru değil. Limitin biricik olması için uzayın Hausdorf olması gerekir.

Evet uzayin Haussdorf olmasini kullandik zaten kanitta ? keza soruda da uzayin Haussdorf ($T_2$) oldugu da belirtiliyor. Hepsinin otesinde Hausdorflugun tanimi da kanitin basinda yazdim. Soru zaten uzay Hausdorf ise limit biriciktir ifadesini ispatlayin diyor eger yanlis anlamadiysam
Başka uzaylarda limit birden fazla olabiliyor mu?
Evet söylediğiniz tanımlar doğru.
Uzay haussdorf olmadığı zaman limit birden fazla çıkabiliyor.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$(X,\tau), \ T_2$  uzayı$;$ $x_n\to a; \ x_n\to b$ olsun ve $a\neq b$  olduğunu varsayalım.

 

$\left.\begin{array}{rr} (X,\tau), \ T_2  \text{ uzayı} \\ \\ a\neq b\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists N\in\mathcal{N}(a))(\exists M\in\mathcal{N}(b))(N\cap M=\emptyset)\ldots (1)$

 

$\left.\begin{array}{rr} x_n\to a \\ \\ N\in\mathcal{N}(a) \end{array}\right\} \Rightarrow (\exists K_1\in\mathbb{N})(n>K_1\Rightarrow x_n\in N)\ldots (2)$

 

$\left.\begin{array}{rr} x_n\to b \\ \\ M\in\mathcal{N}(b) \end{array}\right\} \Rightarrow (\exists K_2\in\mathbb{N})(n>K_2\Rightarrow x_n\in M)\ldots (3)$

 

$\left.\begin{array}{rr} K:=\max\{K_1,K_2\} \\ \\ (2),(3) \end{array}\right\}\Rightarrow (K\in \mathbb{N})[(n>K\Rightarrow x_n\in N)\wedge (n>K\Rightarrow x_n\in M)]$

 

$\overset{(*)}{\Rightarrow} (K\in \mathbb{N})[n>K\Rightarrow (x_n\in N\wedge x_n\in M)]$

 

$\Rightarrow (K\in \mathbb{N})(n>K\Rightarrow x_n\in N\cap M)$

 

$\Rightarrow N\cap M\neq \emptyset\ldots (4)$

 

$(1),(4)\Rightarrow \text{Çelişki}.$

 

O halde varsayımımız yanlış. Dolayısıyla $$a=b$$ olmalıdır.

 

Not: $(*): (p\Rightarrow q)\wedge (p\Rightarrow r)\equiv p\Rightarrow (q\wedge r).$

Tanım: $(X,\tau)$ topolojik uzay, $(x_n)\in X^{\mathbb{N}}$ ve $x\in X$ olsun.

$(1)$ $\mathcal{N}(x):=\{N|N, x\text{'in komşuluğu}\}$

$(2)$ $x_n\to x:\Leftrightarrow (\forall N\in\mathcal{N}(x))(\exists K\in\mathbb{N})(n>K\Rightarrow x_n\in N).$

(10.5k puan) tarafından 
19,507 soru
21,235 cevap
71,438 yorum
30,330 kullanıcı