Processing math: 31%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
822 kez görüntülendi

(X,d) ve (Y,d) iki metrik uzay, f:XY bir ..... olsun.

(X,d) bir tam metrik uzay ise f(X) in Y nin kapalı bir alt kümesi olduğunu gösteriniz.

Yukarıda boşluğa (izometri olmakdan daha zayıf bir koşul) ne yazabiliriz?

(Önceki problemdeki ispatı fazla değiştirmeye gerek olamayacak şekilde)


Lisans Matematik kategorisinde (6.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 822 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

f nin bir izometri olduğu 

1. <yn> bir Cauchy dizisi olduğunda (f(xn)=yn olacak şekilde seçilen) <xn> dizisinin de bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek

2. lim ise \lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(x) olduğunu göstermek 

için kullanılmaktadır. 

Birincisi için, (izometrideki eşitlik yerine)

Bir \alpha\geq0 için (\forall x,x'\in X için) d(x,x')\leq\alpha d'(f(x),f(x')) yeterlidir. 

(Daha azı bile, örneğin (süreklilikteki koşulun tersine benzeyen), \forall\varepsilon>0 için d'(f(x),f(x'))<\delta iken d(x,x')<\varepsilon olacak şekilde bir bir \delta>0 var olması yeterlidir)

İkincisi için ise, f nin sürekli olması yeterlidir. 

Öyleyse, "f bir izometri"  yerine bu koşullar yazılınca, aynı ispat, f(X) in Y de kapalı olduğunu gösterecektir.

(6.3k puan) tarafından 
20,334 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,121,242 kullanıcı