Bu sorudaki izometri olma koşulunu (çözümü fazla değiştirmeden) nasıl zayıflatabiliriz?

Question

$(X,d)$ ve $(Y,d')$ iki metrik uzay, $f:X\to Y$ bir ..... olsun.

$(X,d)$ bir tam metrik uzay ise $f(X)$ in $Y$ nin kapalı bir alt kümesi olduğunu gösteriniz.

Yukarıda boşluğa (izometri olmakdan daha zayıf bir koşul) ne yazabiliriz?

(Önceki problemdeki ispatı fazla değiştirmeye gerek olamayacak şekilde)

Answer 1

$f$ nin bir izometri olduğu 

1. $<y_n>$ bir Cauchy dizisi olduğunda ($f(x_n)=y_n$ olacak şekilde seçilen) $<x_n>$ dizisinin de bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek

2. $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$ ise $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)$ olduğunu göstermek 

için kullanılmaktadır. 

Birincisi için, (izometrideki eşitlik yerine)

Bir $\alpha\geq0$ için ($\forall x,x'\in X$ için) $d(x,x')\leq\alpha d'(f(x),f(x'))$ yeterlidir. 

(Daha azı bile, örneğin (süreklilikteki koşulun tersine benzeyen), $\forall\varepsilon>0$ için $d'(f(x),f(x'))<\delta$ iken $d(x,x')<\varepsilon$ olacak şekilde bir bir $\delta>0$ var olması yeterlidir)

İkincisi için ise, $f$ nin sürekli olması yeterlidir. 

Öyleyse, "$f$ bir izometri"  yerine bu koşullar yazılınca, aynı ispat, $f(X)$ in $Y$ de kapalı olduğunu gösterecektir.