Ben de kanıtın (Doğan hocamınki ile aynı) formel şeklini ekleyeyim. Önce şu teoremi hatırlatalım.
Teorem: $(X,d)$ metrik uzay, $A\subseteq X$ ve $x\in X$ olmak üzere
$$A=\overline{A}\Leftrightarrow \left(\forall \langle x_n\rangle\in A^{\mathbb{N}}\right)(x_n\to x\Rightarrow x\in A).$$
Şimdi de bu teoremi kullanarak asıl teoremi kanıtlayalım. Amacımız $f[X]$ kümesinin $(Y,d')$ metrik uzayında kapalı bir küme olduğunu göstermek. Bunun için de üstteki teoremden faydalanacağız.
$\langle y_n\rangle\in f[X]^{\mathbb{N}}$ (yani $\langle y_n\rangle, \ f[X]$'de bir dizi), $y\in Y$ ve $y_n\to y$ olsun. $(y\in f[X]$ olduğunu gösterirsek kanıt biter.$)$
$\left.\begin{array}{rr} \langle y_n\rangle\in f[X]^{\mathbb{N}} \\ \\ f, \text{ izometri}\Rightarrow f, \text{ birebir}\end{array}\right\}\Rightarrow (\forall n\in\mathbb{N})(\exists !x_n\in X)(y_n=f(x_n))$
$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\forall n,m\in\mathbb{N})(d'(y_n,y_m)=d'(f(x_n),f(y_m))) \\ \\ f, \text{ izometri} \end{array}\right\}\Rightarrow $
$\left.\begin{array}{r} \Rightarrow (\forall n,m\in\mathbb{N})(d'(y_n,y_m)=d(x_n,x_m)) \\ \\ \langle y_n\rangle, \text{ yakınsak}\Rightarrow \langle y_n\rangle, \text{ Cauchy dizisi} \end{array} \right\} \overset{d\sim d'}{\Rightarrow} \begin{array}{r} \\ \\ \left. \begin{array}{rr} \langle x_n\rangle, \text{ Cauchy dizisi} \\ \\ (X,d), \text{ tam uzay}\end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$
$\left.\begin{array}{r}\Rightarrow (\exists x\in X)(x_n\to x) \\ \\ f, \text{ izometri}\Rightarrow f, \text{ sürekli} \end{array} \right\} \Rightarrow \begin{array}{r} \\ \\ \left. \begin{array}{cc} f(x_n)\to f(x)\\ \\ (\forall n\in\mathbb{N})(y_n=f(x_n))(y_n\to y)\end{array} \right\} \Rightarrow y=f(x)\in f[X].\end{array}$
Not: $d\sim d': d$ ile $d'$ denk.