Açık kapalı küme metrik uzay.

Question

$\partial{A}$ A'nın sınırı.

$\overline{A}$ A'nın kapanışı

$\dot{A}$ A'nın içi.

$\partial A=\overline A \cap \overline{A^c}$ nasıl kanıtlarım. 

Yapmaya çalıştıgım ve tıkandığım şey:

$\partial A= \overline{A}-\dot{A}$ 

$\overline{A}=\dot{A} \cup \partial A$ $\subseteq$ $A\cup\partial{A}$ nasıl devam edebilirim veya yol gösterebilirmisiniz .Çözüm önerilerinizide bekliyorum . Teşekkürler

Comments

Bir metrik uzayda bir $A$ kümesinin sınırını nasıl tanımlıyorsun?

---

$\partial A={x| B(x,\epsilon)<r}$ bu yuvarda hem A dan hem de $A^c$ eleman var ise bu bu nokta sınır noktası.

---

$B(x,\epsilon)<r$ ne demek?

---

Hmm. Haklısınız tanım eksik kalmış. Teşekkürler murad bey. 

$\partial E =${$x \in \mathbb{R^n} |   \forall$ $r>0$ için $B_r(x) \cap E \neq \emptyset$    ve    $B_r(x)\cap E^c\neq\emptyset$}

$B(x_0,r)=$ {$x\in X  : d(x_0,x)<r$} ; $x_0$ merkezli $r$ yarıçaplı açık yuvar.

---

$$\partial A\subset \overline{A}\setminus \overline{A^c}$$ ve $$\partial A\supset \overline{A}\setminus \overline{A^c}$$

olduğunu göstermen yetecek. Tanımdan kolayca çıkıyor. Biraz daha düşünmeni tavsiye ederim. İşin içinden çıkamazsan yine yardımcı olurum.

---

Teşekkürler hocam.

Answer 1

$$x\in\partial A$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall r>0)(B(x,r)\cap A\neq \emptyset)(B(x,r)\cap A^c\neq \emptyset)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall r>0)(B(x,r)\cap A\neq \emptyset)\wedge (\forall r>0)(B(x,r)\cap A^c\neq \emptyset)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$x\in \overline{A}\wedge x\in \overline{A^c}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$x\in \overline{A}\cap \overline{A^c}.$$