Question

 $(X,d)$  metrik uzay ve $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ kesin artan bir fonksiyon olmak üzere

$$(f(0)=0)(f(x+y)\leq f(x)+f(y))\Rightarrow f \circ d, \ X\text{'de metrik}$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(f\circ d)(x,y)=f(d(x,y))=d'(x,y)$  olsun.

 

i) $d'(x,y)=f(d(x,y))=0$ ise tanımdan $d(x,y)=0$   ve  $d$   metrik olduğundan  $x=y$

 

ii) $d, X$'de metrik olduğundan   $d(x,y)=d(y,x).$  $$d'(x,y)=f(d(x,y))=f(d(y,x))=d'(y,x).$$

 

iii) $d(x,y)\ge0$   ve  $f$  artan ve konkav fonksiyon olduğundan $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ ise $$f(d(x,y))\le f(d(x,z)+d(z,y))\le f(d(x,z))+f(d(z,y))$$     $$d'(x,y)\le d'(x,z)+d'(z,y)$$   elde olunur. Dolayısıyla metrik aksiyomları sağlandığından $f\circ d$, $X$  de bir metriktir.