$$A:=\left\{|d(x,z)-d(y,z)|\big{|}z\in X\right\}$$ olsun. Her $x,y,z\in X$ için $$|d(x,z)-d(y,z)|\leq d(x,y)$$ olduğundan $d(x,y)$ gerçel sayısı $A$ kümesi için bir üst sınırdır. Dolayısıyla $$\sup_{z\in X} |d(x,z)-d(y,z)|=\sup A\leq d(x,y)\ldots (1)$$ elde edilir. Öte yandan her $z\in X$ için $$|d(x,z)-d(y,z)|\leq \sup_{z\in X} |d(x,z)-d(y,z)|$$ eşitsizliği her zaman geçerlidir. Özel olarak $z=y$ için de geçerlidir. Buradan da $$|d(x,y)-d(y,y)|=d(x,y)\leq \sup_{z\in X} |d(x,z)-d(y,z)|=\sup A\ldots (2)$$ elde edilir.
$$(1),(2)\Rightarrow \sup A=d(x,y).$$