Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
517 kez görüntülendi

$(X,d)$ metrik uzay olmak üzere her $x,y\in X$ için $$\sup_{z\in X}|d(x,z)-d(y,z)|=d(x,y)$$ olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 517 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$$A:=\left\{|d(x,z)-d(y,z)|\big{|}z\in X\right\}$$ olsun. Her $x,y,z\in X$ için $$|d(x,z)-d(y,z)|\leq d(x,y)$$ olduğundan $d(x,y)$ gerçel sayısı $A$ kümesi için bir üst sınırdır. Dolayısıyla $$\sup_{z\in X} |d(x,z)-d(y,z)|=\sup A\leq d(x,y)\ldots (1)$$ elde edilir. Öte yandan her $z\in X$ için $$|d(x,z)-d(y,z)|\leq \sup_{z\in X} |d(x,z)-d(y,z)|$$ eşitsizliği her zaman geçerlidir. Özel olarak $z=y$ için de geçerlidir. Buradan da $$|d(x,y)-d(y,y)|=d(x,y)\leq \sup_{z\in X} |d(x,z)-d(y,z)|=\sup A\ldots (2)$$ elde edilir. 

$$(1),(2)\Rightarrow \sup A=d(x,y).$$

(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,221 soru
21,752 cevap
73,359 yorum
1,999,733 kullanıcı