f nin bir izometri olduğu
1. <yn> bir Cauchy dizisi olduğunda (f(xn)=yn olacak şekilde seçilen) <xn> dizisinin de bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek
2. limn→∞xn=x ise limn→∞f(xn)=f(x) olduğunu göstermek
için kullanılmaktadır.
Birincisi için, (izometrideki eşitlik yerine)
Bir α≥0 için (∀x,x′∈X için) d(x,x′)≤αd′(f(x),f(x′)) yeterlidir.
(Daha azı bile, örneğin (süreklilikteki koşulun tersine benzeyen), ∀ε>0 için d′(f(x),f(x′))<δ iken d(x,x′)<ε olacak şekilde bir bir δ>0 var olması yeterlidir)
İkincisi için ise, f nin sürekli olması yeterlidir.
Öyleyse, "f bir izometri" yerine bu koşullar yazılınca, aynı ispat, f(X) in Y de kapalı olduğunu gösterecektir.