$(X,d)$ metrik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere $$x\notin A\in\mathcal{C}(X,\tau_d)\setminus \{\emptyset\}\Rightarrow d(x,A)>0$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Yani bir metrik uzayda boştan farklı bir kapalı küme ile bu kapalı kümeye ait olmayan bir nokta arasındaki uzaklık daima pozitiftir.

 

$(X,d)$ metrik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere $$x\notin A\in\mathcal{C}(X,\tau_d)\setminus \{\emptyset\}\Rightarrow d(x,A)>0$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$x\notin A\in\mathcal{C}(X,\tau_d)\setminus \{\emptyset\}$ olsun ve $d(x,A)=0$ olduğunu varsayalım.

$\left.\begin{array}{rr} (A\neq \emptyset)(d(x,A)=0)\Rightarrow x\in\overline{A} \\ \\ x\notin A\in \mathcal{C}(X,\tau_d)\setminus \{\emptyset\} \Rightarrow x\notin A=\overline{A}\end{array}\right\}\Rightarrow \text{Çelişki.}$