$C_b(X,Y):=C(X,Y)\cap B(X,Y)$ olmak üzere $$C_b(X,Y)\subseteq B(X,Y)$$ kümesinin $(B(X,Y),D)$ metrik uzayında kapalı olduğunu gösteriniz.

Question

Soruya dair ayrıntılı bilgiler aşağıda:

$(X,d_1),(Y,d_2)$ metrik uzaylar; 

$B(X,Y):=\{f|f:X\to Y \text { sınırlı}\},$ 

$C(X,Y):=\{f|f:X\to Y \text{ sürekli}\},$ 

$C_b(X,Y):=B(X,Y)\cap C(X,Y)$ ve 

$D:B(X,Y)\times B(X,Y)\to\mathbb{R}^{\geq 0}, \ D(f,g):=\sup_{x\in X}d_2(f(x),g(x))$