Question

$x\in\mathbb{R}$ olmak üzere $$0<x\Rightarrow 0<x^{-1}$$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Bu linkte bulunan aksiyomlardan hareketle bir kanıt veriniz.

Answer 1

X 0 dan büyük reel bir sayı ,x ters çevrilirse değeri artar veya azalır negatif bir değer olamaz

Answer 2

$0<x$  eşitsizliğinin her iki yanını  $1/x^2$ ile çarparak istenen elde edilir.

Comments

Alper hocam bizden zaten pozitif bir reel sayının çarpımsal tersinin de pozitif olduğunun kanıtı isteniyor. Dolayısıyla $x>0$ iken $x^2>0$ olduğunu biliyoruz ama $\frac{1}{x^2}>0$ 'nin pozitif olduğundan emin değiliz ki(!).  Öyle olsaydı $\frac 1x$ 'in de pozitif  olduğundan emin olurduk.

---

Varsayalım ki $1/x^2$  negatif olsun. Yani $$1/x^2 \lt 0$$  olsun. Her iki tarafı $x^2$ ile çarparak $$1\lt0$$  çelişkisini elde ederiz.

Answer 3

$x>0$ olsun.  $x>0\overset{\text{Neden?}}\Rightarrow x^{-1}\neq 0$ olur.

$x^{-1}<0$ olduğunu varsayalım. Bu durumda

$$\left.\begin{array}{rr} x^{-1}<0 \\ \\ x>0 \end{array}\right\}\Rightarrow 1\overset{\text{Neden?}}{=}x\cdot x^{-1}\overset{\text{Neden?}}{<}x\cdot 0\overset{\text{Neden?}}{=}0$$ çelişkisi elde edilirdi.

Comments

$x^{-1}=0$  olsun. Çarpımsal ters biricik olduğundan (Kanıt için bakınız)  $1=x.x^{-1}=x^{-1}.x$ yazılabilir. O zaman $$1=x.0=0$$  çelişkisi elde edilir. Demek ki   $x^{-1}\ne 0$  dır.