Bu aşikar değil mi? $\mathbb N = \{ 0, 1, 2, 3, \dots \}$ kümesinin elemanları olan doğal sayıları birer birer artırarak oluşturuyoruz ve tam olarak bu yüzden ardışık iki doğal sayının arasında bir başka doğal sayı olamaz.
Aşikar olduğu görülmüyor, bunu işleme dökelim denirse: İddianın doğru olduğunu kabul edelim ve $x \in \mathbb N $ olsun. $n < x $ olduğundan doğal sayılar kümesinin tanımı gereği $x \geq n+1$ dir. Ayrıca $x < n+1 $ verildiğinden bu $x \geq n+1$ oluşu ile çelişir.
Beklenen ispat bu tür bir şey miydi bilemiyorum. Bu tür soruların sorulmasındaki mantığı anlayamıyorum. Bu yüzden yorum olarak yazdım. Belki ispatıma şu itirazlar gelebilir:
$0+1=1$ olduğunu da ispatlamalısın.
$1+1=2$ olduğunu da ispatlamalısın.
$1+2=2+1=3$ olduğunu da ispatlamalısın.
$ n$ doğal sayı iken $x \geq n+1$ ve $x < n+1 $ olacak biçimde bir $x$ doğal sayısının oluşu neden çelişki oluştursun ki? Bunun çelişki olduğunu da ispatlamalısın.
...
Benim aklıma gelmeyen, başka gördüğünüz itirazları da ekleyebilirsiniz. Benim gibi soruya cevap vericilere, ön bilgi olarak neleri kullanabileceğimizin listesi de verilmelidir diye düşünüyorum. Çünkü soru o kadar temel ki benim aşikar dediğime bir başkası ''aşikar olur mu, onu da ispatlamalısın, bilinen en kısa ispatı $5$ sayfa sürüyor'' diyebilir.
Anlamaya çalışıyorum sadece.