Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi
$n\in\mathbb{N}$ ve $x\in\mathbb{R}$ olmak üzere  $$(\forall n\in\mathbb{N})(n<x<n+1\Rightarrow x\notin\mathbb{N})$$  olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (405 puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi

$n\in\mathbb{Z}$ için de doğru olur.

Aynen hocam.

Bunun ispatı yapılınca bir önceki sorununda ispatı (n=0 için) yapılmış olur

Aynen bende soruyu yazınca gördüm ama kalsın böyle dedim hocam.

Bu aşikar değil mi? $\mathbb N = \{ 0, 1, 2, 3, \dots \}$ kümesinin elemanları olan doğal sayıları birer birer artırarak oluşturuyoruz ve tam olarak bu yüzden ardışık iki doğal sayının arasında bir başka doğal sayı olamaz.

Aşikar olduğu görülmüyor, bunu işleme dökelim denirse: İddianın doğru olduğunu kabul edelim ve $x \in \mathbb N $ olsun. $n < x $ olduğundan doğal sayılar kümesinin tanımı gereği $x \geq n+1$ dir. Ayrıca $x < n+1 $ verildiğinden bu $x \geq n+1$ oluşu ile çelişir.


Beklenen ispat bu tür bir şey miydi bilemiyorum. Bu tür soruların sorulmasındaki mantığı anlayamıyorum. Bu yüzden yorum olarak yazdım. Belki ispatıma şu itirazlar gelebilir:

$0+1=1$ olduğunu da ispatlamalısın.

$1+1=2$ olduğunu da ispatlamalısın.

$1+2=2+1=3$ olduğunu da ispatlamalısın.

$ n$ doğal sayı iken $x \geq n+1$ ve  $x < n+1 $ olacak biçimde bir $x$ doğal sayısının oluşu neden çelişki oluştursun ki? Bunun çelişki olduğunu da ispatlamalısın.

...


Benim aklıma gelmeyen, başka gördüğünüz itirazları da ekleyebilirsiniz. Benim gibi soruya cevap vericilere, ön bilgi olarak neleri kullanabileceğimizin listesi de verilmelidir diye düşünüyorum. Çünkü soru o kadar temel ki benim aşikar dediğime bir başkası ''aşikar olur mu, onu da ispatlamalısın, bilinen en kısa ispatı $5$ sayfa sürüyor'' diyebilir.

Anlamaya çalışıyorum sadece.

Aşikar olan birşeyi ispatlamamakta (aşikar değil mi) cümlelerine anlam veremiyorum. Soruyu etiket olarak zaten doğal sayılar ve gerçel sayılar diye etiketledim bu da dikkatli bir okurun bunlar adı altında incelemesi gerektiğini anlar diye düşünüyorum.

Tümevarımsal küme ne demek doğal sayılar kümesi tümevarımsal bir küme mi gerçel sayılar sistemi ne demek.

Çelişki elde etmeye çalışırken hata olduğunu görüyorum. Bende bu soruyu farklı bakış açılarını  merak ettiğim için soruyorum.


Çelişki elde etmeye çalışırken gördüğünüz hatayı da detaylı açıklayabilirseniz sevinirim. Hatamı düzeltmeyi deneyebilirim. 

Ben yanlış görmüşüm ispatınızı çelişkiniz gayet mâkul bu şekilde bir yaklaşım doğru çelişkinizi cevap olarak ekleyebilirsiniz.

$n=0$ için doğru olduğunun kanıtı aşağıdaki linkte mevcut. Şimdi geri kalan kısmı tümevarımla kanıtlayabilirsin. http://matkafasi.com/124970/mathbb-olmak-uzere-rightarrow-mathbb-oldugunu-gosteriniz?show=124974#a124974

$$\varphi (n): ``n<x<n+1\Rightarrow x\notin \mathbb{N}"$$ olmak üzere $\varphi (0)$'ın doğru olduğunun kanıtı bu linkte mevcut. $\varphi (n)$ doğru olduğunda $\varphi (n+1)$'in de doğru olduğu gösterilirse kanıt biter.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$n$ bir doğal sayı olmak üzere $n<x<n+1$ koşuluna uyan bir $x$ doğal sayısının var olduğunu kabul edelim.

$n<x$ olduğundan $x\in \{n+1,n+2,n+3,...\}$ olmalıdır.  

Öte yandan $x<n+1$ olduğundan  $x\in \{0,1,2,...,n-1,n\} $ dır.

o zaman  $x\in\{0,1,2,...,n-1,n\}\cap\{n+1,n+2,n+3,...\}=\phi$ olacaktır. bu ise çelişkidir.  O halde $x$ doğal sayı değildir.

(19.2k puan) tarafından 
20,247 soru
21,768 cevap
73,412 yorum
2,130,483 kullanıcı