Eşitsizlik sorularında bütün ifadenin minimumunu bulurken paydanin maksimumunu kullanmak doğru olur mu?

Question

Merhaba,

$x,y$ pozitif gerçel sayıları için $x+y=1$ eşitliği sağlanıyorsa bu koşuldaki $x,y$ gerçel sayıları için $$\dfrac{x^2+y^2}{xy}$$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz? 

(Soruyu ben yazdım bu arada, (zaten bilindik bir tip ama) kaynaklarıma ulaşamadığım için (umarım bir hata yoktur)) 

Mesela burada çözerken $\text{Karesel}\geq\text{Aritmetik}$ kullanılarak $$\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}\geq\dfrac{x+y}{2}\implies x^2+y^2\geq \dfrac{1}{2}$$ yani payın en küçük değeri, ve sonra $x^2+y^2\geq 2xy$ yani $$xy\leq\dfrac{1}{4}$$ burada ifadenin minimum değerini bulabilmek için şimdi pay için ve payda için bu değerleri mı seçmeliyim? (Seçiyorum ama) $$\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{4}}=2$$ geliyor sonuç. Eşitliğin sağlanması için $x=y=1/2$ vermem yeterli. (Hatta direk $x=y$)

 pay ve kesirsiz ifadelerde çoğunlukla uç değer verilerek elde edilen çözüm gördüm, ama paydada bunu pek sık görmedim ve kitabımda da benzeri bir hareket görünce emin olamadım çünkü bu şekilde yapmak her soruda işe yaramıyor, o yüzden soruyorum:

1)Bu neden böyle?

2)Burada genel bir çözüm mü elde ediliyor yoksa tek bir $xy$ değeri için mi?

3) Eşitlik de sağlanıyor ama daha küçük değer bulunabilir mi?

4) Kapalı fonksiyonun türevi kullanılarak daha hızlı cevaba ulaşılabilir mi?(Daha güvenli malûm)

Comments

$xy<1/4$'u nasil yazdin?

---

$x^2+y^2\geq\dfrac{1}{2}$ yi kullanarak, kestirme yapmak istedim sanırım $x+y$ kullanılarak da aynı sonuç çıkıyor.

---

$\frac{x^2+y^2}{2}>xy$ ve  $\frac{x^2+y^2}{2}>1/4$ olmasi $xy<1/4$ oldugunu vermez. Eger boyle yapti isen...

---

$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$  denkleminden gelir ama...

---

Aslında bunu da soracaktım:) Mathstack'ta da böyle bulunduğu çözümler vardı. (Her zamanki gibi onlara bakınca  da bir tuhaf olmuştum) Tam olarak neden böyle yapınca olmuyor?

---

"$a>b$ ve $a>c$ ise $b>c$" dogru degil. "$5>3$ ve $5>4$ ise $3>4$"?

Payin minimumunu alabilirsin. Pozitif sayilar icerisindeyiz.

$a>x$ ve $b<y$ ise

$a>x$ ve $1/b>1/y$ ise 

$a/b=a\cdot 1/b>x\cdot 1/y=x/y$ olur. (Hepsi pozitif).

---

Ama burada $a>b$ ve $b>c$ ise $a>c$ olur. Burada da;

$$\dfrac{x^2+y^2}{2}\geq\dfrac{(x+y)^2}{4}\geq xy$$ ve $\dfrac{x^2+y^2}{2}\geq xy$ olmaz mı? (İnatçılığım için üzgünüm, tam olarak anlamak istediğim için)

---

Bu dogru. Fakat  "$\frac{x^2+y^2}{2}>xy$ ve  $\frac{x^2+y^2}{2}>1/4$ ise  $xy<1/4$" olarak dusunursek benim yukarida dedigime denk gelir. 

---

Ama (telefondan çok zahmetli olduğu için kısaltarak yazacağım) $K.O\geq A.O$ dan $K.O\geq \dfrac{1}{2}$ ve $A.O\geq G.O$ dan $K.O\geq G.O$ ve $K.O=A.O=\dfrac{1}{2}$ için (ikisinin de en büyük değeri) $\dfrac{1}{2}\geq G.O$ bu doğru mu?(Sonra $G.O$ bin karesini aldım)

---

Tavsiyem telefondan yazma vaktine yazik. 

$1/2$ herhalde $1/4$ olacak. Diger iki esitsizligin sol tarafini $1/4$ kilinca zaten sonuncusu ortaya cikiyor. 

Sana ilk sebebini sordugumda bana $x^2+y^2>1/2$ olmasindan dolayi dedin. Buradan baglanmiyor direk fakat $GO$ ile baglaniyor.

---

Alıştım aslında artık, soruları da genellikle onla soruyorum ama bazen yorgunluk çöküyor.

Bu konuda kafamdaki soru işaretleri kalktı, teşekkür ederim hocam:)

---

$\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}=\frac1{xy}-2$ olduğundan, $\frac{x^2+y^2}{xy}$ nin en büyük değerini $xy$ nin en küçük değerini aldığında elde ederiz.

---

Soruda minimum sormam gerekirmiş ona göre cözmüşüm şimdi fark ettim.

Answer 1

Diger bir cozum:

Eger $$\dfrac xy=k$$ dersek $$k+\frac1k \ge 2$$ esitsizligini elde ederiz ve esitligi de $k=1$ durumunda saglar. $x+y=1$ oldugundan en kucuk degeri alabilmesi icin $$x=y=\dfrac12$$ olmali. Diger durumlarda ifade $2$ degerinden buyuk olur.

Comments

Böyle çok daha iyiymiş, anlam karmaşalarına da yer vermiyor. Çok teşekkür ederim hocam:))

---

Soruda  $x+y=1$ verisi gereksiz. Çunku sifirdan farkli $x$   ve  $y$  sayilari icin  $\dfrac{x^2+y^2}{xy}=x/y+y/x\ge 2$ esitsizligi daima gecerlidir.

---

Evet hocam, kitapta gördüğüm eşitsizlik sorularına benzer bir şey yazmaya çalışmıştım, ama benim sorum için önemli cunku paydanin maksini seçip mini bulma eylemi yasal mıdır?(ne güzel ifade ettim(!)) sorusuna cevap arıyordum.