$x_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n$
$z_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n$
$y_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}$
Soru 1:
$\forall \; 0\neq n\in\mathbb N \quad$ için;
$x_n<x_{n+1}$ ve $z_n<z_{n+1}$
olduğunu gösteriniz.
Soru 2:
Üstteki sonuçtan;
$\forall \; 0\neq n\in\mathbb N \quad$ için;
$y_{n+1}<y_{n}$ olduğunu ve $x_n<y_n<x_{n+1}$ olduğunu gösteriniz.
Ek soru 1:.
$n>0$ ve $x>0$ için, $\boxed{\boxed{ \left(1+\dfrac x {n+1}\right)^{n+1}>\left(1+\dfrac x n\right)^n}}$ olduğunu gösteriniz.
Ek soru 2:.
$k>0$, $n\in\mathbb N$ olsun;
$\boxed{\boxed{ \left(1+\dfrac{k}{n}\right)^n\le \left(1+\dfrac{k}{kn}\right)^{kn}}}$ olduğunu gösterelim.
Ek soru 3:.
Yukardakinin biraz farklısı;
$k>0$, $n\in\mathbb N$ olsun;
$\boxed{\boxed{ \left(1+\dfrac{k}{n}\right)^n\le \left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\right]^k}}$ olduğunu gösterelim
Bilgiler;
Binomal açılım;
$(x+y)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom n k x^n y^{n-k}$
Bernoulli eşitsizliği;
$n>1$ ve tam sayı , $x\neq0$ ve $1+x>0$ için daima $(1+x)^n>1+nx$
ve
http://matkafasi.com/100701/serilerde-esitsizlikler-farkli-metodlar-%24-n-1-x-n-1-le-nx-n-1-%24