Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
631 kez görüntülendi
Merhabalar, bu soru hakkında yaklaşık 10 gündür düşünüyorum. Elbette uzun bir kısmını çözdüm fakat takıldığım yer aşağıda da belirteceğim üzere $a=e$ kısmı.

 O halde soruyu çözümleyelim. $\sum \dfrac{a^{n}\cdot n!}{n^{n}}$. Bu serinin gözüme çarpan bir kaç elemanından dolayı "Oran Testi" uygulamaya karar verdim ve $\lim _{n\rightarrow \infty } \left| \dfrac{\left( n+1\right) !a^{n+1}}{\left( n+1\right) ^{n+1}}\cdot \dfrac{n^{n}}{n!a^{n}}\right|$ o halde burayı da çözümlersek. $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{an^{n}}{\left( n+1\right) ^{n}}$. O zaman $a$'yı dışarı çıkartabiliriz çünkü değişken $a$'yı etkilemiyor. $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{an^{n}}{\left( n+1\right) ^{n}}=a\lim _{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{n+1}{n}\right) ^{-n}$ burada da açıkça görülyor ki: $a\lim _{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{n+1}{n}\right) ^{-n}=\dfrac{a}{e}$. O halde, eğer $a=e$ ise (benim takıldığım kısım) ne olduğuna bakmamız gerekiyor, çünkü "Oran Testi" sonuç vermiyor. eğer $0<a<1$ ise yakınsıyor ve eğer $a>e$ ise ıraksar.

 $a=e$ eşitliği için bakarsak eğer, "Oran Testi"nin işe yaramdığını ve "Raabe" testini uygulamamız gerektiğini görüyoruz. Eğer, $n\left( 1-\dfrac{e\cdot n^{n}}{\left( n+1\right) ^{n}}\right) $ yazabiliriz. Ben burada öncelikle binom açılımını denedim. $n\left( \dfrac{n^{n}\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}-en^{n}}{n^{n}\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}}\right)$. O halde, $n\left( \dfrac{\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}-e}{\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}}\right)$. Fakat buradan sonuç bulamadım. Sonra düşünürken başka bir seriile kıyaslamayı denedim. Bu durumda ise:

$n\rightarrow \infty$ giderken, $\ln \left( n\right) \leq n^{p}\leq b^{n}\leq n!\leq n^{n},p >0, b >1$  Eşitsizliği bilinir. Bunlardan yola çıkarak, $\sum \dfrac{e^{n}\cdot n!}{n^{n}}$ şu diziyi yazdım. $a_{n}=\dfrac{\left( n!\right) ^{2}}{n^{n}}$ ve $b_{n}=\dfrac{e^{n}n!}{n^{n}}$ ile kıyasladım fakat dişe dokunur bir sonuç gelmedi.(Limit Karşılaştırma Testi). Daha sonra, Direkt Karşılaştırma Testini kullandım. $\sum \dfrac{e^{n}n!}{n^{n}}\leq \sum \dfrac{\left( n!\right) ^{2}}{n^{n}}$ Bu seri de ıraksak çıktığı için bir sonuca varamadım. Yine denemeye devame edeceğim. Eğer bulursam paylaşacağım.
Lisans Matematik kategorisinde (129 puan) tarafından  | 631 kez görüntülendi
Faktoriyel icin Sterling yaklasimi ise yarayabilir..
Evet onu denedim. Çıkıyor bu sayede ıraksadığı fakat ben daha "doğal" bir yöntem bulmaktan yanayım. Ama cevabı yazarken Stirling eklemeyi de düşünüyorum. Teşekkür ederim.
Benzer bir soru sormustum ben iki yil once, Stirling yaklasimi olmadan nasil olur bilmiyorum acikcasi..

https://matkafasi.com/115457/sum-k-1-infty-frac-k-k-k-x-k
Sonuca nasıl etki eder bakmadım ama Raabe testi ifadesi doğru mu acaba? Şöyle olmalı değil mi? $$n\left[\frac{(n+1)^n}{en^n}-1\right]$$
Soruda yazdığım şekilde oluyor sanırım yani: $\lim _{n\rightarrow \infty }n\left( 1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)$  olmalı. Fakat binom şekilde pek bir yere varamadım.
Evet sanırım böyle olacak, daha başka türlü bulamadım. Şöyle bir eşitsizlik varmış $n!>(\dfrac{n}{e})^n$. Ki bu da anladığım kadarıyla Stirling'le ilişkili
20,246 soru
21,768 cevap
73,412 yorum
2,127,853 kullanıcı