$\displaystyle\sum a_n$ yakınsak bir pozitif terimli seri olsun $\displaystyle\sum \sqrt{a_na_{n+1}}$ serisinin de yakınsadığını ispatlayın.

Question

İspatı yaparken yaptıgım yanlış deneme(karşı ornek ispatın sonunda):

Yanlış ispat:

Terimler pozitif olduğundan $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$ koşulu gereklidir.

Sezgisel olarak:Limits pozitif bir sayıdan $0$ a gelmiş dolayısıyla azalarak gelmiş$^1$.Dolayısıyla dizi azalandır ve $a_{n+1}<a_n$ olur.Tüm terimler pozitif olduğundan dolayı,

$$\sum a_n=\displaystyle\sum\sqrt{a_na_n}>\sum\sqrt{a_na_{n+1}}=S$$

$\sum a_n$ yakınsadığından $S$  de yakınsar.

$^1$ böyle bir durum için azalan fonksiyon olması gerekli değildir.Bakınız:

Eğer $\mathbb I$ ilk $1$milyon doğal sayının  kümesi ise;$$x_n=\begin{cases}1/n^2,\quad n\in\mathbb{I}\textrm{ ise}\\0,\quad n\notin\mathbb{I}\textrm{ ise}\end{cases}$$

$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb N} x_n$ bu seri yakınsaktır ancak $(x_n)_n$ azalan degıldır.


$Soru:1:$Doğru ispat nasıl verilir?

$Soru:2:$Yanlış ispatta yazdığım $^1$ durumunu geçerli nasıl sayabiliriz?Sürekli bir $x_n$ fonksiyonu olsaydı, azalan demekte sıkıntı olur muydu?

Comments

Genelde azalan derken kastedilen "artmayan". Yani $a_n\geq a_{n+1}$ kuralının geçerli olmasını istiyoruz. Buna göre senin $x_n$ dizin azalan bir dizi.

---

ama $\forall n$ için geçerli olmalı, eğer $x_n$ azalansa  her $n$ için $a_n\geq a_{n+1}$ olmalı ama bu kesın degıl arada bazı $n$ ler olabilir ki $a_n\leq a_{n+1}$ olur.

---

Neden kesin değil? Nerede problem çıkabilir?

---

İpucu: $\sqrt{a_n\,a_{n+1}}\leq \frac{a_n+a_{n+1}}2$

---

@DoganDonmez, teşekkürler, aradığım buydu.

@Ozgur, abi bence de çıkmaz çünkü altdiziler ve yakınsaklar ancak $\forall n$ için $a_n\geq a_{n+1}$ olup olmadıgına baktıgımız için şu gibi seriler sıkıntı olabilir.

$$1/2,1/8,1/4,1/64,1/8,1/512$$

bir de şu sıkıntım var, genelde sıkıntı olup olmayacagını yüksek oranda tahmin edebilmeme ragmen matematisel ispatını koyamıyorum bazan.