Processing math: 5%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1k kez görüntülendi

İspatı yaparken yaptıgım yanlış deneme(karşı ornek ispatın sonunda):

Yanlış ispat:

Terimler pozitif olduğundan lim koşulu gereklidir.

Sezgisel olarak:Limits pozitif bir sayıdan 0 a gelmiş dolayısıyla azalarak gelmiş^1.Dolayısıyla dizi azalandır ve a_{n+1}<a_n olur.Tüm terimler pozitif olduğundan dolayı,

\sum a_n=\displaystyle\sum\sqrt{a_na_n}>\sum\sqrt{a_na_{n+1}}=S

\sum a_n yakınsadığından S  de yakınsar.

^1 böyle bir durum için azalan fonksiyon olması gerekli değildir.Bakınız:

Eğer \mathbb I ilk 1milyon doğal sayının  kümesi ise;x_n=\begin{cases}1/n^2,\quad n\in\mathbb{I}\textrm{ ise}\\0,\quad n\notin\mathbb{I}\textrm{ ise}\end{cases}

\displaystyle\sum_{n\in\mathbb N} x_n bu seri yakınsaktır ancak (x_n)_n azalan degıldır.


Soru:1:Doğru ispat nasıl verilir?

Soru:2:Yanlış ispatta yazdığım ^1 durumunu geçerli nasıl sayabiliriz?Sürekli bir x_n fonksiyonu olsaydı, azalan demekte sıkıntı olur muydu?

Lisans Matematik kategorisinde (7.9k puan) tarafından  | 1k kez görüntülendi
Genelde azalan derken kastedilen "artmayan". Yani a_n\geq a_{n+1} kuralının geçerli olmasını istiyoruz. Buna göre senin x_n dizin azalan bir dizi.

ama \forall n için geçerli olmalı, eğer x_n azalansa  her n için a_n\geq a_{n+1} olmalı ama bu kesın degıl arada bazı n ler olabilir ki a_n\leq a_{n+1} olur.

Neden kesin değil? Nerede problem çıkabilir?

İpucu: \sqrt{a_n\,a_{n+1}}\leq \frac{a_n+a_{n+1}}2

@DoganDonmez, teşekkürler, aradığım buydu.

@Ozgur, abi bence de çıkmaz çünkü altdiziler ve yakınsaklar ancak \forall n için a_n\geq a_{n+1} olup olmadıgına baktıgımız için şu gibi seriler sıkıntı olabilir.

1/2,1/8,1/4,1/64,1/8,1/512

bir de şu sıkıntım var, genelde sıkıntı olup olmayacagını yüksek oranda tahmin edebilmeme ragmen matematisel ispatını koyamıyorum bazan.

20,299 soru
21,845 cevap
73,549 yorum
2,757,867 kullanıcı