Tüm gerçel sayıların toplamı...

Question

Şöyle bir eşitsizlik sorusu gördüm:

$$\dfrac{x^2+57}{|x^2-12x+35|}>0$$ eşitsizliğini sağlayan farklı $x$ gerçel sayılarının toplamı nedir?

 

Gerçel sayılarda düşündüğümüz için pay zaten büyük, payda da mutlak değerde olduğu için büyük o zaman bu paydayı $0$ yapan tüm $x$'ler dışında sağlanır, ve buradan $x=\mathbb{R}-\{5,7\}$ bütün $x$ değerlerinin toplamı da $-12$ olur, bunun sebebi bütün gerçel sayıların negatifi olduğu için birbirini goturmesiymis, diyor ortaöğretim matematik kitabı.

 

Bunu biraz tuhaf buldum o yüzden soruyorum, bütün gerçel sayıları toplarsak sonuç $0$ olur mu ki?

Comments

bu tarz sonsuz kumelerı toplarsak, çarparsak ne olur gıbı bışey sormuştum sıtede vardı, bu arada reel sayıları toplamak için nasıl bır yontem uygulamalı, aralıkları mı toplamalı, çünkü öbür türlü sayılamaz olduğu için tek tek birbirini götürtemeyiz bir de bir integral sorusu vardı 0 da simetrik olan bir fonksiyonu -sonsuzdan + sonsuza integrali 0 vermeli gibi gözüküyordu ama sonuc tanımsızdı.

https://math.stackexchange.com/questions/2229944/calculate-int-infty-infty-fracx1x2dx-what-is-wrong-with-this

burada var, ayrıca soruyu soranın hatası -sonsuza ve + sonsuza giden değerlerine aynı anda "a" diyip a yı - sonsuza ve + sonsuza goturmesı, dogru olan ıse ayrı ayrı a ve b tanımlayıp bunları + ve - sonsuza götürmek.

yani, reel sayıları toplamak pek iyi tanımlı gözükmüyor

---

Teşekkür ederim, ben de biraz böyle düşünmüştüm (tabi teorik kısım bende sıfır ama:)), gerçel sayılar yerine tamsayılar deseydi peki (bu sefer aralık aralık toplamamız gerekmezdi) tüm tamsayıların toplamı mantıklı olur muydu?

---

Tüm tam sayıların toplamı ıraksaktır.  Toplamın sırasını kafamıza göre, her zaman, değiştiremeyiz. 1-1 2-2 gibi parantezsel işlem yapamayız. Ayrıca 0-1 1-2 2-3 olarak parantezleri düşünürsek eksi sonsuz olur... de daha bir sürü şey.

---

Teşekkür ederim hocam:)

---

rica ederim   

:P

---

Tesekkurler Anil hocam.

---

ne demek, her zaman, yeterki siz öğrenmek isteyin sevgili Sercan.

---

Tesekkurumun ogrenme ile ilgisi yoktu. Aydinlik (light) tesekkur etmistim.

Answer 1

Bu soruya bakilabilir.

$\mathbb Z$ kumesinin elemanlarinin toplamina bakalim. Bize bir siralama verilmediginden tum siralamalardaki toplam esit olmali ki kumenin eleman toplami bir sayiya esit diyebilelim. 

____________________________________

Burada tabii o toplami bulamayacagimizdan ben bulunabilecek iki ornek veryim: $$\left\{\frac{1}{n^2} \; | \; n\in \mathbb Z^+ \right\}$$ ve  $$\left\{\frac{(-1)^n}{n^2} \; | \; n\in \mathbb Z^+\right\}$$  kumeleri. $$\sum_{k=1}^m$$ uzerinde toplamlarini alip $$\lim_{m\to \infty}$$ limitine bakarsak ilkinin yakinsak oldugunu soyleyebiliriz, $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2}=\frac{\pi}{6}$$ bilgisiyle. Bu da $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^2}$$ sonsuz toplaminin mutlak yakinsak oldugunu verir. 


Kisacasi iki toplam da mutlak yakinsak oldugundan toplamlarin terimlerinin yerlerini degistirebiliriz ve toplam degismez.

____________________________________

Simdi $$\{k \: | \: k\in \mathbb Z\}$$ kumesini dusunelim siralamayi $$0,1,-1,2,-2, 3,-3,\cdots$$ olarak devam ettirelim. Toplam dizimiz $$0,1,0,2,0,3,0,\cdots$$ olarak bir limite varmayacaktir.

____________________________________

Paranteze alma hatasi:

Hadi diyelim ki ikili toplamalara izin verdik: $$0+(1+(-1))+(2+(-2))+\cdots+(n+(-n))=0$$   oldugundan limit $0$ dedik. Bu ikili toplamlari degistirirsek $$0+1+(2+(-1))+(3+(-2))+\cdots+(n+(-n+1))=n$$ oldugundan limit sonsuza iraksayacaktir. 

____________________________________


Her ne kadar toplami sonlu olan bir kumeyi simetrik bir kumeden cikarttigimizda (dogal olarak) o sonlu toplamin $-1$ katini beklesek de bu tarz cikarimlar yukaridaki gibi hatalari vermeye acik.

Toplama bir ikili islemdir. Iyi sirali dizi toplamlari ise $$S_2=a_1+a_2$$ $$S_3=S_2+a_3$$ $$\vdots$$ olarak yapilir ve sonsuz bir dizimiz var ise bu toplam dizisinin limiti alinir.