Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
5.4k kez görüntülendi
Serbest kategorisinde (17 puan) tarafından  | 5.4k kez görüntülendi

Cesare-bale toplama yöntemi ile ıraksak bir serinin toplamını bulabilirsin.Örneğin $ 1-2+3-4+5-6....=1/4 $ eşitliği Euler tarafından bulunmuş ve çelişki olarak tanımlanmış ama sonradan Cesare tarafından bu tür seriler (alterne serileri) ıraksak olsa bile toplanabilinmiştir.Fakat bazı özel durumlar haricinde tamamiyle pozitif yada negatif serilerin toplamı bulunamıyor.Şunu da belirtmek isterim bulunan sonuç dizinin sonlu kısmının toplamıdır.

7 Cevaplar

4 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Sonlu sayıda sayıyı toplamayı ta ilkokuldan beri öğreniyoruz; iki sayıyı toplayan üç sayıyı da toplar, sonra dördüncüyü toplar vs. Ve sonlu sayıda sayıyı istediğimiz sırada toplayabiliriz.

Ama sonsuz sayıda sayıyı toplamayı ilkokulda öğrenmiyoruz. Lise sonda mı ne öğretiliyor. Bu kavramın tanımlanması lazım.

En yaygın tanım şöyledir: Öncelikle toplayacağımız sayıların askerler gibi birinci, ikinci, üçüncü diye sıraya dizilmesi gerekir. Toplayacağımız sayıları şöyle sıraya dizelim:

$$ a{0} , a{1} , a_{2},\ldots $$

(Bu tür sıralanmış sayılara dizi denir.) Tabii bu sayılar başka türlü de sıraya dizilebilirdi, ama sıralamalardan birini sabitleyelim. Biz bu sıralamanın verdiği sonsuz toplamı tanımlayacağız.
Sonsuz toplama geçmeden önce "kısmi toplamları" tanımlayalım:
\begin{align}
s{0} & = a{0},\
s{1} & = a{0 }+ a{1},\
s
{2 }& = a{0 }+ a{1} + a{2},\
...
\end{align}
olsun. Bu ``kısmi toplam"ların her biri sonlu bir toplamdır, bunlarla sorun yoktur, ne de olsa sonlu sayıda sayıyı toplamayı biliyoruz. Böylece bir $(s
n)n$ sayı dizisi elde edilir. $a0, a1, a2,...$ sayı dizisinin toplamının kısmi toplamlar dizisinin limiti olduğunu söyleyelim.

Püf nokta: Sonsuz sayıda sayının toplamı, toplanacak sayıların nasıl sıraya dizildiğine göre değişebilir. Sizin sorunuzda tamsayılar birinci sayı, ikinci sayı, üçüncü sayı diye sıraya dizilmemiş. Ama bir başka gerçek de tamsayıları nasıl sıraya dizerseniz dizin, kısmi toplamların limitinin olmayacağı. Bir başka deyişle, yaygın olarak kabul edilen "sonsuz sayıda sayının toplamı" tanımıyla, sorunuz anlamsız; ötesi, soruyu anlamlı kılmak için tamsayıları sıraya dizseniz de sonsuz toplam bulunamıyor, çünkü kısmi toplamların limiti olmuyor. Örneğin tamsayıları
$$0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, \ldots$$
diye sıraya dizerseniz, kısmi toplamları
$$0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, \ldots$$
bulursunuz ve bu dizinin limiti yoktur. Tamsayıları nasıl sıraya dizerseniz dizin, yukarıda verdiğim tanımıyla tüm tamsayıların toplamını tanımlayamayacaksınız, çünkü kısmi toplamların limiti olmayacak.

Eğer ``sonsuz sayıda sayının toplamı" kavramını başka türlü tanımlamak istiyorsanız, buyurun, tanımı yapın, ondan sonra tartışalım.

Siz muhtemelen şöyle düşünüp cevabın sonsuz olduğunu sanıyorsunuz:
$$0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, \ldots$$
dizisinin ilk üç terimin, ilk beş terimini, ilk yedi terimini vs toplarsam 0 bulurum, dolayısıyla yanıt 0 olmalıdır. Ne yazık ki sayıları üçer beşer toplama yöntemi kabul edilmiş toplama yöntemlerinden değildir.

(899 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Latex ile derleme hatalarını düzeltmek istedim ama beceremedim.
Çok teşekkürler. Ben de çok denedim, olmadı. Belli ki LaTeX doğru dürüst işlemiyor.

Hocam referans olarak göstericeğim de , şu anda düzenleyebilirmisiniz sanırım sorun kalmadı kodlarda.

Bu soru ile ilgili olarak:

http://matkafasi.com/58229/serinin-toplamini-terimlerin-sirasindan-bagimsiz-tanimlamak

ile başlayan soru ve cevaplarla, "sıralamadan bağımsız" bir (sayılabilir) sonsuz sayının toplamı tanımı yaptım ve o tanıma göre toplanabilmenin (tahmin edilebileceği gibi) bildiğimiz serilerdeki mutlak yakınsaklık ile aynı olduğunu gösterdim.

teşekkürler.     

4 beğenilme 0 beğenilmeme
Yine belirsizdir ya da daha dogrusu anlamsizdir. Sonsuz adet tamsayiyi toplayabileceginizi size kim soyluyor.

Ornegin

$\left[ \begin{array}{ccc}
1&2&3\\2&3&4
\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4  \end{array} \right]$

nedir sorusu da ayni derecede anlamsizdir.

 

Bu toplamin sonucu nedir demek yerine, boyle bir ifade anlamli midir diye sormak lazim ilk once.
(258 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
2 beğenilme 0 beğenilmeme
Soru hatalıdır. Burada da elemanların toplamı belirsizdir.

Cevabı -4-3-2-1=-10 olarak düşünmek yanlıştır.

Elemanları belli bir kurala göre toplamak zorunda değilim.

İlk önce pozitifleri daha sonra negatifleri toplarsam sonsuz-sonsuz belirsizliğine ulaşırım.

Eleaman sayıları belli olmayana kümelerde bu tür işlemler farklı sonuçlar verir.
(935 puan) tarafından 
1 beğenilme 0 beğenilmeme
Sonsuz tane sayıyı, anladığımız anlamda, yanyana yazıp toplamak diye bir şey söz konusu olamaz. Aslına bakacak olursanız, bu sayıları yanyana yazmamıza bile imkan yoktur. Daha fazlası, 3 tane sayıyı bile toplayamayız ancak 2sini toplar sonrasında 3. sünü çıkana ekleriz.
(212 puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Belirsizdir...
(935 puan) tarafından 
Eleman sayısını bilmediğiniz bir kümede bu tür islemlerin sonuclarini farkli değerler bulabilirsiniz.
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Öyleyse , | x- 2 | > 2  eşitsizliğini sağlayan tam sayı değerleri toplamı kaçtır ?
(17 puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bence tüm tam sayı demek de yanlıştır çünkü elimizde sonsuz tane tam sayı var

(65 puan) tarafından 
19,696 soru
21,399 cevap
71,870 yorum
221,165 kullanıcı