Sonsuz bir serinin toplamını, terimlerin sırasından bağımsız olarak tanımlamak.

3 beğenilme 0 beğenilmeme
83 kez görüntülendi

$I$ (sayılabilir sonsuz) bir indeks kümesi ve $(a_i)_{i\in I}$ (gerçel  veya karmaşık) sayıların bir SIRASIZ dizisi olsun. $\displaystyle\sum_{i\in I}a_i$ toplamını şöyle tanımlamayı düşünelim.

Bir $S\in \mathbb{R}$ (veya $\mathbb{C}$) sayısı 

$\forall \varepsilon>0$ için

Her   SONLU $B\supseteq A$ ($ B\subset I$) kümesi  için  $|\displaystyle\sum_{i\in B}a_i-S|<\varepsilon$ 

 koşulu sağlayan ( $\varepsilon$ a bağlı) SONLU bir $A$ kümesi bulunabiliyor ise

$\displaystyle\sum_{i\in I}a_i$ (sırasız sonsuz) toplamı yakınsaktır diyelim  ve $\displaystyle\sum_{i\in I}a_i=S$ yazalım.

Soru:

Bu tanıma göre böyle bir $S$ sayısının (varsa) tek olduğunu gösterin.

(Sorular devam edecek)


21, Şubat, 2016 Lisans Matematik kategorisinde DoganDonmez (3,282 puan) tarafından  soruldu
21, Şubat, 2016 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Nereye dogru devam edecek hocam?

Standart tanım ile arasındaki ilişkiyi bulana kadar devam edecek 

(Sonunda "Maaselef yeni bir şey bulamamışız" diyebiliriz!)

Hocam soru ve cevap icin, $A$ ne ise yariyor tam olarak? Sanki bosta duruyor gibi.. 

Buradaki $A$ kümesi (sabit değil $\varepsilon$ a bağlı) "önemli terimlerin" indislerinin kümesi. yani indisi $A$ da olmayan terimler $\varepsilon$ kadar bile etmiyor. Sadece  indisi $A$ da olan terimleri toplasak, hatamız $\varepsilon$ dan az olur .

Serilerin yakınkalık tanımındaki "$\forall\ \varepsilon>0$ için ......olacak şekilde bir $N_\varepsilon\in\mathbb{N}$ vardır" daki $N_\varepsilon$ nin görevini yapıyor.

Bu yaptıklarımın (ve daha fazlasının) Ali Nesin in 

http://nesinkoyleri.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz_1.pdf

de bulabileceğiniz ANALİZ I ders kitabında (bölüm 23) olduğunu yeni farkettim.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

 $S_1,S_2\in \mathbb{R}$ (veya $\mathbb{C}$) sayıları için 

 $\displaystyle\sum_{i\in I}a_i=S_1$ ve $\displaystyle\sum_{i\in I}a_i=S_2$ olsun. 

$\varepsilon>0$ verilsin.

Her   SONLU $B\supseteq A_1$ ($ B\subset I$) kümesi  için  $|\displaystyle\sum_{i\in B}a_i-S_1|<\varepsilon$ o. ş. sonlu bir $A_1$ kümesi ve

Her   SONLU $B\supseteq A_2$ ($ B\subset I$) kümesi  için  $|\displaystyle\sum_{i\in B}a_i-S_2|<\varepsilon$ o. ş. sonlu bir $A_2$ kümesi vardır.

$B=A_1\cup A_2$ olsun. $B$ sonludur ve $B\supseteq A_1$ ve $B\supseteq A_2$ olduğundan:

$|\displaystyle\sum_{i\in B}a_i-S_1|<\varepsilon$ ve $|\displaystyle\sum_{i\in B}a_i-S_2|<\varepsilon$ olur.

Buradan:

$\displaystyle|S_1-S_2|=\left|(\sum_{i\in B}a_i-S_2)-(\sum_{i\in B}a_i-S_1)\right|\leq\left|\sum_{i\in B}a_i-S_2\right|+\left|\sum_{i\in B}a_i-S_1\right|<2\varepsilon$ olur. Her $\varepsilon>0$ için doğru olduğundan $S_1=S_2$ olmak zorundadır.

22, Şubat, 2016 DoganDonmez (3,282 puan) tarafından  cevaplandı

Son kisim icin $|S_1-S_2|=\cdots$'a gecerken $B$'nin sonlu ve sonlu toplamda siralamanin onemi olmadigini kullandigimizi eklemek istiyorum. Okuyanlar bu kismi gecmesinler, lutfen.

Sonlu toplamda siralamanin degismedigini direk bu cisimlerin toplama uzeride abel oldugu ve $(a+b)+c=a+(b+c)$ oldugu ile gorebiliriz. Bunun icin bir cisim yapisina ya da Reel/Karmasik sayilarinin entresan ozelliklerine gerek yok.

...