Genel terimi hep irrasyonel pozitiv reel sayı olan sonsuz toplam, bir rasyonel sayıya eşit olabilir mi? Formal olarak nasıl ıspatlayabılırız.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
99 kez görüntülendi

Pozitiv irrasyonel sayılardan istediklerimizi alalım sürekli toplayalım, öyle bir toplam bulabilir miyiz ki bu toplam bir rasyonel sayıya eşit olabilsin?


$a_n=0,1010010001000010000010000001.........$

$b_n=0,898998999899998999998999999899999...$




$a_n+b_n=1$ ediyor.



Aslında yukardaki gibi basit ama peki transandantal sayıların sonsuz-sonlu toplamları bir rasyonel sayı eder miydi? Aslında aradığım şey böyle bir örnek değil de daha formal bir dil kullanılarak ispatlanması.


$e$ ve $\pi$ lerden oluşan toplamlar mesela?
16, Ocak, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,732 puan) tarafından  soruldu
17, Ocak, 2017 Anil tarafından düzenlendi

fizik sorusu mu bu?

$\sqrt{2}+3$  ile $2-\sqrt{2}$  toplami tam sayidir..


Bu arada $a_n+b_n=0.1111111..$ yapiyor. Birini 0.909009 ile degistirmek gerek..

Duzelttim, ayrica boyle ornekler vermek kolay oyuzden formal ispatini yapmak gerek ve biraz cok zor, tesekkurler linkle4 ve bilgiler icin.

$\frac{\pi^2}6=1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\cdots$ dan

$1=\frac6{\pi^2}+\frac6{4\pi^2}+\frac6{9\pi^2}+\cdots$

$e=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}$ den

$1=\sum_{n=0}^\infty\frac1{en!}$ 


$a_n$  ayni kalirsa   $b_n=0.898998999899998999998999999899999...$  soyle olmali

@Okkeş : haklısınız duzelteyım, yoldayken bakınca tam konsantre olamamışım demekki.

@Dogan hocam, ornekler için müteşekkirim.

Doğan hocanın verdiği örnekteki ilkeyle doğal sayılar üzerine olasılık dağılımları da tanımlanıyor.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Doğan hocanın yorumda verdiği yanıtın üstüne koyup hiçbir şey yapmadan genel bir yanıt vereyim.


$r=0,a_1a_2\cdots a_n\cdots$ biçiminde bir irrasyonel sayı al. Örnek: $$1=\sum_{i=1}^{\infty}\Big(\frac{a_i}{10^i}\cdot \frac{1}{r}\Big)$$

7, Ağustos, 2017 Safak Ozden (3,408 puan) tarafından  cevaplandı
14, Kasım, 2017 Anil tarafından seçilmiş
...