$0$'dan başka bir reel sayıya yakınsayan $(x_n)_n$ dizisinin belli bir $n$ göstergecinden sonra hep pozitiv veya hep negativ olduğunu ispatlayınız.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
23 kez görüntülendi
Matematik litaratürüne alışmak için bu yöntemleri iyice anlamaya çalışıyorum, yöntemim doğru mu?


$$\spadesuit$$

$(x_n)_n$  yakınsak olduğundan, yakınsadığı değeri $L\neq 0 $ olan bir reel sayı seçelim.

$$n\ge N(\in\mathbb N)$$ için

$$|x_n-L|<\epsilon$$ olur.

Reel sayıların aksiyomlarından dolayı $$|x_n-L|<\delta'\le \epsilon$$  olan bir $\delta'$ bulabiliriz.


1. durum:($L>0$ ise;)



$$|x_n-L|<\delta'<\epsilon\quad\to\quad -\epsilon+L\le -\delta'+L<x_n<\delta'+L<\epsilon+L$$

$\delta'$ 'sayısını $L$ den küçük seçebilirim. ($L$ tanım gereği pozitiv, $\epsilon$'dan küçük $\delta'$ lar zaten sağlar.)

Ki bu da $n>N$'yi sağlayan $n$ göstergeçleri ve daha büyükleri için $x_n$'lerin hep pozitiv olduğunu ispatlar.$\Box$



2. durum:($0>L$ ise;)

Tüm ispat mantığı aynı, eşitsizlik yönleri farklı.
8, Ocak, 8 Lisans Matematik kategorisinde Anıl (6,939 puan) tarafından  soruldu
8, Ocak, 8 Anıl tarafından yeniden gösterildi

Birinci sorum: $\delta'$'a niçin ihtiyacın var? Zaten elinde $-\epsilon + L < x_n$ gibi bir eşitlik yok mu? $\epsilon < L$ seçersen, $0 < x_n$ gelmiyor mu?

Ikinci sorum: Hadi diyelim ihtiyacın var. O üstündeki $'$ işaretini niye koydun? Ortamda $\delta$ yok ki! Sırf cevap yazacaklara işkence olsun diye mi?

Ikinci durum için şey diyebilirsin: $y_n = -x_n$ dizisini düşünelim. Bu yeni dizinin limiti pozitif olacaktır. Birinci durumu $y_n$'e uygulayabiliriz...

Aynen dedıgın gıbı ama, bunları vererek nerede hatam oldugunu rahatca soyleyebılsınler dıye dedım, mısal suan dedıgın gıbı "$\delta'$'ya ihtiyacın yok hatta $\delta$ya bile yok" başta dedıgını dusundum ancak, epsilon zaten tanım geregi orada oldugundan belkı bu şekılde denenebılır.

Zaten durum apacık, epsilon kadar yaklaştıgında iş çözülüyor ama o zaman da gosterılcek bırşey yok ee pekı bu adam nıye sormuş bunu kıtapta diyerek kafam bir an çorba olmuş.

feedback için teşekkürler.

Sence neden olabilir? Hep pozitif hep negatif olacak bilgisi bence onemli bir bilgi.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$L>0$ olsun. $\epsilon=L>0$ icin oyle bir $N$ degeri vardir ki $n>N$ oldugunda $$|x_n-L|<L$$ saglanir, yani $$0<x_n<2L$$ saglanir.

$L<0$ olsun. $\epsilon=-L>0$ icin oyle bir $N$ degeri vardir ki $n>N$ oldugunda $$|x_n-L|<-L$$ saglanir, yani $$2L<x_n<0$$ saglanir.

9, Ocak, 9 Sercan (22,394 puan) tarafından  cevaplandı
9, Ocak, 9 Anıl tarafından seçilmiş

çok mantıklı $\epsilon=\pm L$ seçmek

...