Seriler yakınsıyorsa, genel terim $>0$ bir sayıya yakınsayabilir mi? Çürütünüz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
33 kez görüntülendi

Yanlış Sav diyor ki;


Bir serimiz var $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$   diye ve bu seri yakınsıyor;

$u\in\mathbb R\quad\to\quad \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=u$  ise;

$\lim\limits_{n\to\infty}a_n>0$ olabilir mi?

Neden olamayacağını farklı metodlarla gösterelim;

1.metod :

Genel terim olan  $a_n$ ,$x\in[0,\infty)$'de monoton azalan bir fonksiyon olsun.

$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\ell >0$  olsun;

Dolayısıyıla bunun anlamı, $\forall a_n\ge \ell$

Toplamsal serimiz  $ \lim\limits_{m\to\infty}\displaystyle\sum_{n=1}^m a_n=\underbrace{\underbrace{a_1}_{>\ell}+\underbrace{a_2}_{>\ell}+.....+\underbrace{a_n}_{>\ell}+.......+........}_{m\;tane}\to... \ell$  olduğundan


$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n>\lim\limits_{m\to\infty}(m.\ell)=\infty.\ell=\infty$

Çürütülür, bu seri ıraksaktır.(moton azalan için ıraksıyorsa monoton artan ve diğer seriler için de ıraksar)$\Box$

5, Aralık, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anıl (6,695 puan) tarafından  soruldu
5, Aralık, 2016 Anıl tarafından düzenlendi

method 1'i nasil ispatladiginizi icerige ekleyebilir misiniz?

ekledım             

$=\infty\cdot L$ ne demek oluyor? 

hocam bir reel sayı ile sonsuz sembolünü çarptığımızda sonsuz oluyordu, neden boyle oluyor sorayım siteye.

sonsuzla aritmetik yapilmamasindan yanayim.

yapmak zorunda olsaydınız?

...