Her irrasyonel sayı için o sayıya yakınsayan bir rasyonel sayı dizisi bulmak.

Question

$\mathbb{Q},\ \mathbb{R}$ de yoğun olduğu için, verilen her gerçel sayı için, o sayıya yakınsayan (ama tüm terimleri o sayıdan farklı) bir rasyonel sayı dizisi vardır. 

Verilen sayı rasyonel ise, böyle bir dizi oluşturmak çok kolaydır:

$a\in\mathbb{Q}$ ise $x_n=a+\frac1n$ böyle bir dizi olur.

Ama verilen sayı irrasyonel ise böyle bir diziyi gerçekten oluşturmak zor görüyor ama aslında öyle değil. 

$a\notin\mathbb{Q},\ (a\in\mathbb{R})$ verilsin:

$\forall n\in\mathbb{N}^+$ için $ x_n=\frac{\lfloor na\rfloor}n$ olsun. ($\lfloor\ \rfloor$: tam değer fonksiyonu)

$\forall n\in\mathbb{N}^+$ için $x_n\in\mathbb{Q}$ olduğu (bunun sonucu olarak $x_n\neq a$ olduğu) aşikardır.

$\displaystyle\lim_{n\to +\infty} x_n=a$ olduğunu gösterin.

Comments

Bazı fonksiyonların bir noktada limitinin var olmadığını göstermek için böyle bir diziye gereksinim duyarız.

---

$a\in\mathbb{Q}$ ise $x_n=a$ (sabit) dizisi de var ama bazan (örneğin limit problemlerinde) terimlerin $a$ dan farklı olması istenebilir.

Answer 1

$na-1<[|na|]\leq na$  olduğunu biliyoruz.  Her tarafı $n\in \mathbb{N^+}$ ile bölersek yön değişikliği olamayacaktır. 

$\frac{na-1}{n}<\frac{[|na|]}{n}\leq \frac{na}{n}$ olur. Şimdi her tarafın limitini alalım.

$\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \frac{na-1}{n}<\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{[|na|]}{n}\leq \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{na}{n}$     ve 

$a<\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{[|na|]}{n}\leq a$ olacaktır. Sıkıştırma teoreminden dolayı 

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_n=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{[|na|]}{n}=a$ olacaktır.         

Comments

Çözüm güzel ama bir noktaya itirazım var.

( $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \frac{na-1}{n}<\lim_{n\to+\infty}\frac{[|na|]}{n}\leq\lim_{n\to+\infty}\frac{na}{n}$ ifadesinden dolayı)Çözümde (sanki) $\lim x_n$ nin var olduğu kabulü var gibi (görünüyor).

O limitin var olup olmadığını henüz bilmiyoruz.

Aslında, Sıkıştırma Teoreminde öyle bir varsayım da yoktur, limitin var olduğu(ve ne olduğu) teoremin sonucudur (bu da Sıkıştırma Teoreminin en güzel tarafıdır).

Şöyle olsa mükemmel olur:

$\frac{na-1}{n}<\frac{[|na|]}{n}\leq \frac{na}{n}=a$ olur.

dan sonra:

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{na-1}{n}=a=\lim_{n\to +\infty} a$

olduğundan, Sıkıştırma Teoreminden,

$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}x_n=\lim_{n\to+\infty}\frac{[|na|]}{n}=a$ olur.

---

$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{na-1}{n}<\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{[|na|]}{n}\leq \displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\frac{na}{n}=a)$ yazımından $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{[|na|]}{n}$ 'nin varlığını kabul ettiğimi siz nasıl anladınız ki? Oysa ben $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{[|na|]}{n}$ nin var olup olmadığını bilmiyorum, ama eğer varsa bu limit değerinin mutlaka $(\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{na-1}{n},\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{na}{n}]=(a,a]$ aralığında olduğunu düşünerek yazdım. Belki işin başında biz bu limitin var olup olmadığını bilmiyoruz diye yazsaydım iyi olurdu. Ama gerek görmedim çünkü biz zaten bu limitin var olup olmadığını varsa değerinin kaç olduğunu araştırıyoruz.