Harmonik serinin ıraksaklığını ispatlayan elementer yöntemleri yazalım.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
509 kez görüntülendi

Metod 1:

$H=\displaystyle\sum_{i=1}\dfrac1i=1+\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+...+...+\dfrac1n+.....$

Yukardaki toplamdaki her terim için aşşağıda daha küçük terimler verilmiştir.

$S=1+\dfrac12+\dfrac14+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac18+\dfrac18+\dfrac18+...+\underbrace{\dfrac1{2^n}+..+\dfrac1{2^n}}_{2^{n-1}\;tane}+.....$


Ve buradan 

$S=1+\dfrac12+\dfrac12+\dfrac12+\dfrac12+\dfrac12+..=\infty$

$H>S=\infty$ olduğundan $H$ ıraksar.

Metod 2:

$H=\displaystyle\sum_{i=1}\dfrac1i=1+\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+...+...+\dfrac1n+.....$

$H\ge S=1+\dfrac12+\underbrace{\dfrac14+\dfrac14}_{1/2}+\underbrace{\dfrac16+\dfrac16}_{1/3}+\underbrace{\dfrac18+\dfrac18}_{1/4}+\underbrace{\dfrac1{10}+\dfrac1{10}}_{1/5}+...+...+\underbrace{\dfrac1{2n}+\dfrac1{2n}}_{1/n}+.....=\dfrac12+H$


Ayrı sorulacak soru 1:

Eğer, $r\in\mathbb R^+$  olmak üzre;

$(H\ge H+r)$  önermesi doğru ise $H=\pm\infty$ diyebilir miyiz?

Soru linki:http://matkafasi.com/102432/eger-mathbb-olmak-uzre-onermesi-dogru-infty%24-diyebilir-miyiz




Ayrı sorulacak soru 2:

$S=1+\dfrac12+\dfrac14+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac18+\dfrac18+\dfrac18+...+\underbrace{\dfrac1{2^n}+..+\dfrac1{2^n}}_{2^{n-1}\;tane}+.....$

Böyle bir $S$ toplamı için genel terim $\displaystyle\sum a_i$ nasıl verilir ? 

veya 

$\{b_n\}=\underbrace{1}_{b_{1}},\underbrace{\dfrac12}_{b_{2}},\underbrace{\dfrac14}_{b_{3}},\underbrace{\dfrac14}_{b_{4}},\underbrace{\dfrac18}_{b_{5}},\underbrace{\dfrac18}_{b_{6}},\underbrace{\dfrac18}_{b_{7}},\underbrace{\dfrac18}_{b_{8}},...,\underbrace{\dfrac1{2^{n-1}}}_{b_{2^n}},..$

İçin $b_n$ nasıl verilir?

Soru linki:http://matkafasi.com/102438/serilerde-buyukluk-kucukluk-kullanilan-terimi-tanimlariz

Ama asıl soru olarak başka hangi elementar metodlarla harmonik serinin ıraksaklığı ispatlanır?


25, Aralık, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil B.C.T. (7,737 puan) tarafından  soruldu
28, Mart, 28 alpercay tarafından düzenlendi

Ben bu tarz sorularda $\cdots$'dan anlamiyorum. Cunku sonlu toplamin limitini alacagiz. Bir serinin $n$ ve diger serinin $f(n)$ terim toplamini karsilastirmak ne kadar saglikli mesela? ikinci yontemin icin sorum budur.

genel terimi bulsam o sorun cozulcek bir ugrasicagim

ikinci methoddaki $S$ icin genel terimi bulmak kolay. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Metod 3:


Önerme: 


$(x_n)_n$ artarak sonsuza ıraksayan bir diziyse;

$$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty \dfrac{x_{i+1}-x_i}{x_{i+1}}$$

serisi ıraksaktır.

$x_i=i$ için;


$$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty \dfrac{x_{i+1}-x_i}{x_{i+1}}=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty \dfrac{1}{i}$$

Iraksar.

Önermenin İspatı:

Cauchy dizi mantığını kullanarak, bunun bir cauchy olmadığını göstererek yakınsak olmadığını göstereceğiz, $n>m$ için;

$$\displaystyle\sum_{i=m}^n \dfrac{x_{i+1}-x_i}{x_{i+1}}\ge \sum_{i=m}^n \dfrac{x_{i+1}-x_i}{x_{n+1}}\ge \dfrac{x_{n+1}-x_m}{x_{n+1}}=1-\dfrac{x_m}{x_{n+1}}$$


$(x_n)_n$ artan bir dizi olduğundan ve $n>m$ olduğundan dolayı son ifade $\forall\epsilon>0$ için sağlanmaz dolayısıyla ıraksar.

22, Mart, 2017 Anil B.C.T. (7,737 puan) tarafından  cevaplandı
"Bir dizi Cauchy değilse yakınsak da olamaz."

İspat:

Tüm Cauchy dizileri yakınsaktır, tüm yakınsak diziler Cauchydir, bir dizi Cauchy olmayıp da yakınsak olamaz eğer olsaydı zaten "yakınsak diziler Cauchy olur" önermesinden dolayı Cauchy olurdu.$\Box$
...