Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi
$\frac ab+\frac ba<2$ eşitsiligini sağlayan $a$ ve $b$  reel sayilari için hangisi daima doğrudur?? 
 A)a < 0 
B) a < b
C) b > O
D) b> a
E ) a. b < O 
Cevap E şıkkı hocalarım bu tarz sorulara yaklaşımın nasıl olmalı yada bu soruyu sizler nasıl çözersiniz yani sorunu  çözümü :))
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (12 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.2k kez görüntülendi

2yi sola atıp paydaları eşitlersen pay kare olur. Buradan istediğin sonucu elde edebilirsin.

İkinci olarak burada değişken sayısı da azaltılabilir. a/b'ye x diyebilirsin. Bu da yukarıdaki yönteme benzer olur fakat genelde işe yarar bir yöntemdir.

Sercan hocam harikasınız.saolun



$AO\ge GO$  esitliginden faydanarak da yorum yapabiliriz.
$\dfrac{a}{b}+\dfrac {b}{a}\ge 2$    ve   $\dfrac{a}{b}\ge 0$   oldugundan  verilen esitligin saglanmasi  icin $\dfrac {a}{b}\lt 0$   olmalidir.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Eger $2$ sol arafa atilirsa istenen $$\frac ab+\frac ba -2<0$$ olur. Paydalari esitlersek $$\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}<0$$ olmali. 

Ust kisim $a=b$ durumu disinda pozitif. Bu durumun $ab$ ifadesinin negatif olmasini bekleriz. Eger $a=b\ne 0$ ise $ab=a^2> 0$ olur. Bu da $ab<0$ icerisinde degil. 
(25.5k puan) tarafından 

Hocam çok saolun ama ben sizin çözümü anladım mesajı yanlış attım alpercay isimli kullanıcının gösterdiği yolu anlayamadım

Soru cevapsiz kalmasin diye cevabimi yazmistim. Aritmetik ortalama Geometrik ortalamadan buyuktur. Tabi pozitif gercel sayilar icin. Bu da tamamen ayni mantik ile geliyor. 

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Alper'in dedigi ile aslinda benim dedigim arasinda pek fark yok. O cevabi da yazayim. Fark olmamasinin sebebi alt tabandaki fikirler ayni.


$x$ ve $y$ pozitif tam sayilar ise $$(\sqrt x-\sqrt y)^2 \ge 0$$ olur ve esitlik sadece $x=y$ durumunda saglanir. Bu esitsizligi duzenlersek $$x+y-2\sqrt{xy} \ge 0$$ yani $$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$$ olur. Bu da iki pozitif gercel sayi icin Aritmetik Ortalama'nin Geometrik ortalamadan buyuk esit oldugunu hatta esitligin sadece $x=y$ durumunda saglanacagini verir. 

Eger $ab>0$ olursa $a/b$ ve $b/a$ da pozitif olur. Bu durumda $$\frac{a/b+b/a}{2}\ge \sqrt{a/b\cdot b/a}=1$$ olur ve dolayisiyla $$\frac ab+\frac ba \ge 2$$ olur.  $ab=0$  olamaz. Cunku paydalarin sifir olmasini istemeyiz. Eger $ab<0$ ise $a/b$ ve $b/a$ negatif olur. Bu da $$\frac ab +\frac ba <0 <2$$ oldugunu verir. 

(25.5k puan) tarafından 

Açıklama için teşekkürler  Sercan Hocam.

20,275 soru
21,804 cevap
73,482 yorum
2,430,905 kullanıcı