Ortalama eşitsizliği sorusunun sorulma amacı olan e nin Tanımı ile ilgili sorular dizisini bütün olarak göz önüne alırsak burada verdiğim logaritma fonksiyonlu Jensen'li ispat, bilimsel hiyerarşiyi çiğneme riski taşıyor. Çünkü logaritma fonksiyonunun konkavlığını ispatlarken türev kullanacaksak, logaritmanın türev formülünü limitli tanımdan
lim
yardımıyla elde etmek gerekir ki yine e sabitini işin içine öyle böyle karıştırmış oluruz. Dolayısıyla izlenebilecek adımlardan birisi, amaca uygun olması bakımından çok daha elemanter bir yol tercih etmek gerekir. Diğer bir yol da logaritma fonksiyonunun konkavlığını mümkünse türeve bulaşmadan göstermektir. Zira, konvekslik kavramı hiç türev kavramı kullanılmadan tanımlanmaktadır. y= \log x in konkavlığı grafiğinden görülüyor ancak türev kullanmadan ispatlamayı denemedim de. Grafiğe bakmak burada sezgisel oluyor.
Böylece diğer yolu tercih etmek şu aşamada daha makul duruyor. Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinin ispatını elemanter bir yolla yapalım. Tümevarım kullanılabilecek bir yöntemdir.
n=2 ve a,b>0 sayıları için \dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab} olduğunu göstermeliyiz. Bunun için her iki tarafın karesini alırsak (a+b)^2\geq 4ab olup (a-b)^2\geq 0 elde edilir. Yani \dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab} \iff (a-b)^2\geq 0 buluruz. Tam kare ifadeler negatif olmadığından bu eşitsizlik doğrudur.
Bundan sonrasını yazmak biraz yorduğu için Korovkin'in kitabında verdiği iki teoremine havale ediyorum. Bu iki teorem, beraberce aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğini ispatlıyor. A\geq G eşitsizliğinin başka elemanter ispatları da var.