Processing math: 57%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
936 kez görüntülendi

a1,a2,,anR0 olmak üzere na1a2ana1+a2++ann olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 936 kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

ak değerlerinden en az biri 0 olursa geometrik ortalama değeri 0 olduğundan eşitsizliğin sağlandığı barizdir. O halde her k=1,2,,n için ak>0 alarak işlemlerimize devam edebiliriz. f:(0,)Rf(x)=log(x) fonksiyonu konkav olduğundan Jensen eşitsizliğinde λk=1n alarak f(1na1+1na2++1nan)1n(f(a1)+f(a2)++f(an))

buluruz. Buradan da log(a1+a2++ann)1n(loga1+loga2++logan) yazılır. Logaritma özelliklerinden:

log(a1+a2++ann)log(a1a2an)1/n

olup üs alınırsa

a1+a2++annna1a2an

klasik Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği elde edilir.


Not: Jensen eşitsizliğinde pozitif λk sayıları nk=1λk=1 eşitliğini sağlayacak biçimde seçilmektedir. Yukarıdaki ispatta λk=1n eşit terimler olarak seçilmiştir. Fakat genel halde eşit seçme zorunluluğumuz yoktur. Bu durumda da 

λ1a1+λ2a2++λnanaλ11aλ22aλnn

olarak bilinen ve daha genel biçimdeki Ağırlıklı Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği'ne ulaşırız.

(2.6k puan) tarafından 
Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği ve Cauchy-Schwarz, Hölder, Minowski gibi klasik eşitsizliğin elemanter ispatları için P.P. Korovkin'in ölümsüz eseri Eşitsizlikler incelenebilir. Kitap birçok dile çevrilmiştir ve Türk Matematik Derneği tarafından da 70'li yıllarda Türkçe tercümesi yapılarak yayınlanmıştır. 

Nette Korovkin Inequalities kelimeleriyle arama yapılırsa İngilizce olarak pdf formatında ücretisiz bulunuyor. Meraklıları için bilgilendirmiş olalım.
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Ortalama eşitsizliği sorusunun sorulma amacı olan e nin Tanımı ile ilgili sorular dizisini bütün olarak göz önüne alırsak burada verdiğim logaritma fonksiyonlu Jensen'li ispat, bilimsel hiyerarşiyi çiğneme riski taşıyor. Çünkü logaritma fonksiyonunun konkavlığını ispatlarken türev kullanacaksak, logaritmanın türev formülünü limitli tanımdan

lim

yardımıyla elde etmek gerekir ki yine e sabitini işin içine öyle böyle karıştırmış oluruz. Dolayısıyla izlenebilecek adımlardan birisi, amaca uygun olması bakımından çok daha elemanter bir yol tercih etmek gerekir. Diğer bir yol da logaritma fonksiyonunun konkavlığını mümkünse türeve bulaşmadan göstermektir. Zira, konvekslik kavramı hiç türev kavramı kullanılmadan tanımlanmaktadır. y= \log x in konkavlığı grafiğinden görülüyor ancak türev kullanmadan ispatlamayı denemedim de. Grafiğe bakmak burada sezgisel oluyor.


Böylece diğer yolu tercih etmek şu aşamada daha makul duruyor. Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinin ispatını elemanter bir yolla yapalım. Tümevarım kullanılabilecek bir yöntemdir.

n=2 ve a,b>0 sayıları için \dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab} olduğunu göstermeliyiz. Bunun için her iki tarafın karesini alırsak (a+b)^2\geq 4ab olup (a-b)^2\geq 0  elde edilir. Yani \dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab} \iff (a-b)^2\geq 0 buluruz. Tam kare ifadeler negatif olmadığından bu eşitsizlik doğrudur.

Bundan sonrasını yazmak biraz yorduğu için Korovkin'in kitabında verdiği iki teoremine havale ediyorum. Bu iki teorem, beraberce aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğini ispatlıyor. A\geq G eşitsizliğinin başka elemanter ispatları da var.

image image image image





 
(2.6k puan) tarafından 
20,299 soru
21,844 cevap
73,549 yorum
2,756,418 kullanıcı