Basit Eşitsizlikler

Question

$\frac ab+\frac ba<2$ eşitsiligini sağlayan $a$ ve $b$  reel sayilari için hangisi daima doğrudur?? 

 A)a < 0 

B) a < b

C) b > O

D) b> a

E ) a. b < O 

Cevap E şıkkı hocalarım bu tarz sorulara yaklaşımın nasıl olmalı yada bu soruyu sizler nasıl çözersiniz yani sorunu  çözümü :))

Comments

2yi sola atıp paydaları eşitlersen pay kare olur. Buradan istediğin sonucu elde edebilirsin.

İkinci olarak burada değişken sayısı da azaltılabilir. a/b'ye x diyebilirsin. Bu da yukarıdaki yönteme benzer olur fakat genelde işe yarar bir yöntemdir.

---

Sercan hocam harikasınız.saolun

---

$AO\ge GO$  esitliginden faydanarak da yorum yapabiliriz.

$\dfrac{a}{b}+\dfrac {b}{a}\ge 2$    ve   $\dfrac{a}{b}\ge 0$   oldugundan  verilen esitligin saglanmasi  icin $\dfrac {a}{b}\lt 0$   olmalidir.

Answer 1

Eger $2$ sol arafa atilirsa istenen $$\frac ab+\frac ba -2<0$$ olur. Paydalari esitlersek $$\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}<0$$ olmali. 

Ust kisim $a=b$ durumu disinda pozitif. Bu durumun $ab$ ifadesinin negatif olmasini bekleriz. Eger $a=b\ne 0$ ise $ab=a^2> 0$ olur. Bu da $ab<0$ icerisinde degil. 

Comments

Hocam çok saolun ama ben sizin çözümü anladım mesajı yanlış attım alpercay isimli kullanıcının gösterdiği yolu anlayamadım

---

Soru cevapsiz kalmasin diye cevabimi yazmistim. Aritmetik ortalama Geometrik ortalamadan buyuktur. Tabi pozitif gercel sayilar icin. Bu da tamamen ayni mantik ile geliyor. 

Answer 2

Alper'in dedigi ile aslinda benim dedigim arasinda pek fark yok. O cevabi da yazayim. Fark olmamasinin sebebi alt tabandaki fikirler ayni.


$x$ ve $y$ pozitif tam sayilar ise

$$(\sqrt x-\sqrt y)^2 \ge 0$$ olur ve esitlik sadece $x=y$ durumunda saglanir. Bu esitsizligi duzenlersek $$x+y-2\sqrt{xy} \ge 0$$ yani $$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$$ olur. Bu da iki pozitif gercel sayi icin Aritmetik Ortalama'nin Geometrik ortalamadan buyuk esit oldugunu hatta esitligin sadece $x=y$ durumunda saglanacagini verir. 

Eger $ab>0$ olursa $a/b$ ve $b/a$ da pozitif olur. Bu durumda $$\frac{a/b+b/a}{2}\ge \sqrt{a/b\cdot b/a}=1$$ olur ve dolayisiyla $$\frac ab+\frac ba \ge 2$$ olur.  $ab=0$  olamaz. Cunku paydalarin sifir olmasini istemeyiz. Eger $ab<0$ ise $a/b$ ve $b/a$ negatif olur. Bu da $$\frac ab +\frac ba <0 <2$$ oldugunu verir. 

Comments

Açıklama için teşekkürler  Sercan Hocam.