Question

$(X,d)$ metrik uzay ve $a ,$ $X$ kümesinin belirli bir elemanı olmak üzere $$f(x)=d(x,a)$$ kuralı ile verilen $$f:X \rightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonu düzgün sürekli midir? 

Comments

Fonksiyonun kuralı $$f(x)=d(x,a)$$ olduğuna göre $f$ fonksiyonunun hedef kümesi $\mathbb{R}$ olmalı. 

---

Cevabı yoruma dönüştürmelisin.

---

Ayrıca $$f(x)=d(x,a)$$ bir fonksiyon değil, $$f$$ fonksiyonunun kuralıdır. Bu bir. İkincisi $a$'nın ne olduğu belli değil. Yani soru şöyle sorulmalı. $(X,d)$ metrik uzay ve $a$, $X$ kümesinin belirli bir elemanı olmak üzere $f(x)=d(x,a)$ kuralı ile verilen $f:X\to\mathbb{R}$ fonksiyonu düzgün sürekli midir? 

Answer 1

$$|f(x)-f(a)|=|d(x,a)-d(y,a)|\leq d(x,y)$$

olduğundan her $\epsilon>0$ için $0<\delta\leq\epsilon$ olarak seçilirse her $x,y\in X$ için

$$d(x,y)<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|=|d(x,a)-d(y,a)|\leq d(x,y)<\delta\leq\epsilon$$ koşulu sağlanır yani

$$(\forall\epsilon >0)(\exists\delta >0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d(x,y)<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$ önermesi doğru yani $f$ fonksiyonu düzgün sürekli olur.